题目
5.3人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为 1/5, dfrac (1)(3) ,dfrac (1)(4). 问3人中至少有一人能-|||-将此密码译出的概率是多少?
题目解答
答案
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于基础题．
设“第$i$个人破译出密码”为事件$A_{i}\left(i=1,2,3\right)$，依题意$P\left(A_{1}\right)=\dfrac{1}{5}$，$P\left(A_{2}\right)=\dfrac{1}{3}$，$P\left(A_{3}\right)=\dfrac{1}{4}$，
设“密码被破译”为事件$C$，“密码未被破译”为事件$D$，
$D=\overline{\dot{A_{1}}}\cdot \overline{\dot{A_{2}}}\cdot \overline{\dot{A_{3}}}$，且$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$相互独立，
$\therefore P\left(D\right)=P\left(\overline{\dot{A_{1}}}\right)\cdot P\left(\overline{\dot{A_{2}}}\right)\cdot P\left(\overline{\dot{A_{3}}}\right)=\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{2}{5}$，
而$P\left(C\right)=1-P\left(D\right)=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore $至少有一人能将此密码译出的概率为$\dfrac{3}{5}$.
解析
步骤 1：定义事件
设“第$i$个人破译出密码”为事件$A_{i}\left(i=1,2,3\right)$，依题意$P\left(A_{1}\right)=\dfrac{1}{5}$，$P\left(A_{2}\right)=\dfrac{1}{3}$，$P\left(A_{3}\right)=\dfrac{1}{4}$。
步骤 2：定义对立事件
设“密码被破译”为事件$C$，“密码未被破译”为事件$D$，则$D=\overline{\dot{A_{1}}}\cdot \overline{\dot{A_{2}}}\cdot \overline{\dot{A_{3}}}$，且$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$相互独立。
步骤 3：计算对立事件的概率
$P\left(D\right)=P\left(\overline{\dot{A_{1}}}\right)\cdot P\left(\overline{\dot{A_{2}}}\right)\cdot P\left(\overline{\dot{A_{3}}}\right)=\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{2}{5}$。
步骤 4：计算事件$C$的概率
$P\left(C\right)=1-P\left(D\right)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$。
设“第$i$个人破译出密码”为事件$A_{i}\left(i=1,2,3\right)$，依题意$P\left(A_{1}\right)=\dfrac{1}{5}$，$P\left(A_{2}\right)=\dfrac{1}{3}$，$P\left(A_{3}\right)=\dfrac{1}{4}$。
步骤 2：定义对立事件
设“密码被破译”为事件$C$，“密码未被破译”为事件$D$，则$D=\overline{\dot{A_{1}}}\cdot \overline{\dot{A_{2}}}\cdot \overline{\dot{A_{3}}}$，且$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$相互独立。
步骤 3：计算对立事件的概率
$P\left(D\right)=P\left(\overline{\dot{A_{1}}}\right)\cdot P\left(\overline{\dot{A_{2}}}\right)\cdot P\left(\overline{\dot{A_{3}}}\right)=\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{2}{5}$。
步骤 4：计算事件$C$的概率
$P\left(C\right)=1-P\left(D\right)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$。