现有一批某种型号的圆钢长8米,需要截取2.5米长的毛坯100根,长1.3米的毛坯200根.问如何才能既满足需要,且用料最少？

本题考查线性规划在实际问题中的应用，解题的关键在于找出不同截取方式下的用料情况，通过建立目标函数并结合约束条件来求解用料最少的方案。

设截取$2.5$米长毛坯用$x$根圆钢，截取$1.3$米长毛坯用$y$根圆钢。

1. 分析约束条件：
   • 因为需要$2.5$米长的毛坯$100$根，每根$8$米的圆钢截取$2.5$米长毛坯可做$\lfloor\frac{8}{2.5}\rfloor = 3$根，所以$3x\geqslant100$，即$x\geqslant\frac{100}{3}\approx33.33$，由于$x$为圆钢数量，应为整数，所以$x\geqslant34$。
   • 又因为需要$1.3$米长的毛坯$200$根，每根$8$米的圆钢截取$1.3$米长毛坯可做$\lfloor\frac{8}{1.3}\rfloor = 6$根，所以$6y\geqslant200$，即$y\geqslant\frac{200}{6}\approx33.33$，由于$y$为圆钢数量，应为整数，所以$y\geqslant34$。
   • 同时$x\geqslant0$，$y\geqslant0$，且$x,y$为整数。
2. 确定目标函数：
   目标是用料最少，也就是圆钢总数$z=x + y$最小。
3. 求解方案：
   • 先考虑满足$2.5$米长毛坯的需求，当$x = 34$时，$34$根$8$米圆钢可截取$2.5$米长毛坯$34\times3 = 102$根，满足$100$根的需求，此时剩余$2$根$2.5$米长毛坯的材料，剩余材料长度为$8 - 2\times2.5=3$米，不够再做一根$2.5$米长毛坯。
   • 已经用了$34$根圆钢做$2.5$米长毛坯，还需要$200$根$1.3$米长毛坯，每根$8$米圆钢可做$6$根$1.3$米长毛坯，$200\div6 = 33\cdots\cdots2$，即$33$根圆钢可做$33\times6 = 198$根，还剩$2$根$1.3$米长毛坯没做，所以还需要$34$根圆钢来做$1.3$米长毛坯（因为$33$根不够，需$34$根才能满足需求）。
   • 总共用的圆钢数$z=x + y=34+33 = 67$根（这里$y$取$33$是因为前面$34$根圆钢做$2.5$米毛坯剩余的材料还能做$4$根$1.3$米毛坯，所以$y$不需要取$34$）。