题目

[2019数学二](13)已知函数f(x)=xint_(1)^x(sin t^2)/(t)dt,则int_(0)^1f(x)dx=____

[2019数学二] (13)已知函数$f(x)=x\int_{1}^{x}\frac{\sin t^{2}}{t}dt$,则$\int_{0}^{1}f(x)dx=$____

题目解答

答案

为了求解 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$，其中 $f(x) = x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} \, dt$，我们首先需要对 $f(x)$ 进行积分。我们使用分部积分法，设 $u = \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} \, dt$ 和 $dv = x \, dx$。那么，$du = \frac{\sin x^2}{x} \, dx$ 和 $v = \frac{x^2}{2}$。 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有： \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} \, dt \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin x^2}{x} \, dx. \] 首先，我们计算边界项： \[ \left[ \frac{x^2}{2} \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} \int_{1}^{1} \frac{\sin t^2}{t} \, dt - \frac{0^2}{2} \int_{1}^{0} \frac{\sin t^2}{t} \, dt = 0 - 0 = 0. \] 所以，积分简化为： \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin x^2}{x} \, dx = - \int_{0}^{1} \frac{x \sin x^2}{2} \, dx. \] 接下来，我们使用换元积分法来计算 $\int_{0}^{1} \frac{x \sin x^2}{2} \, dx$。设 $u = x^2$，那么 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 1$ 时，$u = 1$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{1} \frac{x \sin x^2}{2} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\sin u}{2} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \sin u \, du. \] 我们知道 $\int \sin u \, du = -\cos u$，所以： \[ \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \sin u \, du = \frac{1}{4} \left[ -\cos u \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \left( -\cos 1 + \cos 0 \right) = \frac{1}{4} \left( -\cos 1 + 1 \right) = \frac{1 - \cos 1}{4}. \] 因此，我们有： \[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = - \frac{1 - \cos 1}{4} = \frac{\cos 1 - 1}{4}. \] 所以，最终答案是： \[ \boxed{\frac{\cos 1 - 1}{4}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查变上限积分的求导法则、分部积分法以及换元积分法的综合应用。关键在于正确选择分部积分中的$u$和$dv$，并处理积分限的变化。

解题思路：

  1. 分部积分法：将$f(x)$拆分为$x$和变上限积分的乘积，通过分部积分将原积分转化为更易处理的形式。
  2. 边界项简化：利用变上限积分在$x=0$和$x=1$时的特殊性，使边界项为零。
  3. 换元积分法：对剩余积分进行变量替换，简化计算。

分部积分法应用

设$u = \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} dt$，则$du = \frac{\sin x^2}{x} dx$；设$dv = x dx$，则$v = \frac{x^2}{2}$。根据分部积分公式：
$\int_{0}^{1} f(x) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \int_{1}^{x} \frac{\sin t^2}{t} dt \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin x^2}{x} dx.$

边界项计算

  • 当$x=1$时，$\int_{1}^{1} \frac{\sin t^2}{t} dt = 0$；
  • 当$x=0$时，$\frac{0^2}{2} \int_{1}^{0} \frac{\sin t^2}{t} dt = 0$；
    因此，边界项整体为$0$。

剩余积分处理

剩余积分化简为：
$- \int_{0}^{1} \frac{x \sin x^2}{2} dx.$
换元法：令$u = x^2$，则$du = 2x dx$，积分变为：
$- \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \sin u du = -\frac{1}{4} \left[ -\cos u \right]_{0}^{1} = \frac{\cos 1 - 1}{4}.$