题目
例 验证函数x=C_(1)cos kt+C_(2)sin kt(C_(1),C_(2)为常数)是微分方程(d^2x)/(dt^2)+k^2x=0的通解，并求满足初始条件x|_(t=0)=A,(dx)/(dt)|_(t=0)=0的特解.
例 验证函数$x=C_{1}\cos kt+C_{2}\sin kt(C_{1},C_{2}$为常数)是微分方程$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+k^{2}x=0$的通解，并求满足初始条件$x|_{t=0}=A,\frac{dx}{dt}|_{t=0}=0$的特解.
题目解答
答案
**解：**
1. **求导数：**
对 $x = C_1 \cos kt + C_2 \sin kt$ 求导得：
\[
\frac{dx}{dt} = -C_1 k \sin kt + C_2 k \cos kt, \quad \frac{d^2 x}{dt^2} = -k^2 (C_1 \cos kt + C_2 \sin kt)
\]
2. **代入微分方程：**
将二阶导数代入 $\frac{d^2 x}{dt^2} + k^2 x = 0$，得：
\[
-k^2 (C_1 \cos kt + C_2 \sin kt) + k^2 (C_1 \cos kt + C_2 \sin kt) = 0
\]
左右相消，满足方程，故为通解。
3. **应用初始条件：**
由 $x|_{t=0} = A$，得 $C_1 = A$。
由 $\frac{dx}{dt}|_{t=0} = 0$，得 $C_2 k = 0$，即 $C_2 = 0$。
4. **特解：**
代入常数得特解：
\[
\boxed{x = A \cos kt}
\]