题目
试用向量证明直径所对的圆周角是直角。
试用向量证明直径所对的圆周角是直角。
题目解答
答案
证明：如图，设
是圆
的直径，
点在圆周上，要证
, 只要证
即可。
故
, 即
为直角
解析
步骤 1：定义向量
设圆的中心为点O，直径AB，点C在圆周上。定义向量$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {BC}$，要证明$\angle ACB$是直角，即证明$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}=0$。
步骤 2：向量分解
将向量$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {BC}$分解为$\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OC}$和$\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OC}$，其中$\overrightarrow {AO}$和$\overrightarrow {BO}$是直径的向量，$\overrightarrow {OC}$是圆心到点C的向量。
步骤 3：计算向量点积
计算$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}$，即$(\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OC})\cdot (\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OC})$，展开后得到$-|\overrightarrow {AO}|^2+|\overrightarrow {OC}|^2$，因为$\overrightarrow {AO}=-\overrightarrow {BO}$，所以$\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {BO}=-|\overrightarrow {AO}|^2$，而$|\overrightarrow {AO}|=|\overrightarrow {OC}|$，所以$-|\overrightarrow {AO}|^2+|\overrightarrow {OC}|^2=0$。
步骤 4：结论
因为$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}=0$，所以$\overrightarrow {AC}\bot \overrightarrow {BC}$，即$\angle ACB$为直角。
设圆的中心为点O，直径AB，点C在圆周上。定义向量$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {BC}$，要证明$\angle ACB$是直角，即证明$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}=0$。
步骤 2：向量分解
将向量$\overrightarrow {AC}$和$\overrightarrow {BC}$分解为$\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OC}$和$\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OC}$，其中$\overrightarrow {AO}$和$\overrightarrow {BO}$是直径的向量，$\overrightarrow {OC}$是圆心到点C的向量。
步骤 3：计算向量点积
计算$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}$，即$(\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OC})\cdot (\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OC})$，展开后得到$-|\overrightarrow {AO}|^2+|\overrightarrow {OC}|^2$，因为$\overrightarrow {AO}=-\overrightarrow {BO}$，所以$\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {BO}=-|\overrightarrow {AO}|^2$，而$|\overrightarrow {AO}|=|\overrightarrow {OC}|$，所以$-|\overrightarrow {AO}|^2+|\overrightarrow {OC}|^2=0$。
步骤 4：结论
因为$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}=0$，所以$\overrightarrow {AC}\bot \overrightarrow {BC}$，即$\angle ACB$为直角。