题目
判断函数(x)=ln (sqrt ({x)^2+1}-x)的奇偶性。
判断函数
的奇偶性。
题目解答
答案
函数定义域为
,定义域关于原点对称，
函数在上是奇函数
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$的定义域为所有实数，因为$\sqrt {{x}^{2}+1}-x$对于所有$x$都是正的，所以$\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$定义域为$(-\infty, +\infty)$，定义域关于原点对称。
步骤 2：计算$f(-x)$
$f(-x)=\ln [ \sqrt {{(-x)}^{2}+1}-(-x)]$
$=\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}+x)$
$=\ln \dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+1}+x)(\sqrt {{x}^{2}+1}-x)}{\sqrt {{x}^{2}+1}-x}$
$=\ln \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+1}-x}$
$=-\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$
$=-f(x)$
步骤 3：判断奇偶性
由于$f(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)=\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$是奇函数。
函数$f(x)=\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$的定义域为所有实数，因为$\sqrt {{x}^{2}+1}-x$对于所有$x$都是正的，所以$\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$定义域为$(-\infty, +\infty)$，定义域关于原点对称。
步骤 2：计算$f(-x)$
$f(-x)=\ln [ \sqrt {{(-x)}^{2}+1}-(-x)]$
$=\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}+x)$
$=\ln \dfrac {(\sqrt {{x}^{2}+1}+x)(\sqrt {{x}^{2}+1}-x)}{\sqrt {{x}^{2}+1}-x}$
$=\ln \dfrac {1}{\sqrt {{x}^{2}+1}-x}$
$=-\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$
$=-f(x)$
步骤 3：判断奇偶性
由于$f(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)=\ln (\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$是奇函数。