题目
lim_(x arrow 1) (x-x^x)/(1-x+lnx)
$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-x^x}{1-x+lnx} $
题目解答
答案
由题可得
$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-x^x}{1-x+lnx} $
=$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-e^{lnx^x}}{1-x+lnx} $
=$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x-e^{xlnx}}{1-x+lnx} $
=$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1-e^{xlnx}(lnx+1)}{-1+\frac{1}{x} } $
=$ \lim_{x \rightarrow } \frac{-e^{xlnx}(lnx+1)-\frac{1}{x}\cdot e^{xlnx} }{-\frac{1}{x^2} } $
=$ \frac{-1-1}{-1}=2 $
解析
步骤 1：将 $x^x$ 用指数函数表示
$ x^x = e^{x \ln x} $，因此原式变为
$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - e^{x \ln x}}{1 - x + \ln x} $。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在 $x \rightarrow 1$ 时都趋于0，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导。
分子的导数为 $1 - e^{x \ln x} (1 + \ln x)$，分母的导数为 $-1 + \frac{1}{x}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
分子和分母在 $x \rightarrow 1$ 时仍然趋于0，再次应用洛必达法则。
分子的二阶导数为 $-e^{x \ln x} (1 + \ln x) - e^{x \ln x} \cdot \frac{1}{x}$，分母的二阶导数为 $-\frac{1}{x^2}$。
步骤 4：计算极限
将 $x = 1$ 代入分子和分母的二阶导数中，得到
$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-e^{x \ln x} (1 + \ln x) - e^{x \ln x} \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \frac{-1 - 1}{-1} = 2 $。
$ x^x = e^{x \ln x} $，因此原式变为
$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x - e^{x \ln x}}{1 - x + \ln x} $。
步骤 2：应用洛必达法则
由于分子和分母在 $x \rightarrow 1$ 时都趋于0，可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导。
分子的导数为 $1 - e^{x \ln x} (1 + \ln x)$，分母的导数为 $-1 + \frac{1}{x}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
分子和分母在 $x \rightarrow 1$ 时仍然趋于0，再次应用洛必达法则。
分子的二阶导数为 $-e^{x \ln x} (1 + \ln x) - e^{x \ln x} \cdot \frac{1}{x}$，分母的二阶导数为 $-\frac{1}{x^2}$。
步骤 4：计算极限
将 $x = 1$ 代入分子和分母的二阶导数中，得到
$ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{-e^{x \ln x} (1 + \ln x) - e^{x \ln x} \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \frac{-1 - 1}{-1} = 2 $。