一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ____ cm.

考查要点：本题主要考查空间几何中圆柱体内放置球体的最大半径问题，涉及球体与圆柱面、底面的相切条件，以及勾股定理的应用。

解题核心思路：

1. 确定可能的放置方式：考虑两球相切且分别与圆柱的底面或侧面相切的不同情况，分析哪种情况能允许球的最大半径。
2. 建立几何关系：通过轴截面分析球心位置，利用勾股定理建立方程求解。
3. 比较不同情况的结果：排除不符合条件的情况，选择最大值。

破题关键点：

• 轴截面对角线方向放置：当两球沿轴截面对角线方向排列时，可利用勾股定理建立方程，得到更大的半径值。
• 排除不可能情况：如两球同时接触侧面和底面时，总高度超过圆柱高度，需舍去。

情况1：两球沿圆柱中心轴排列

若两球相切，且分别与上下底面相切，则总高度为 $4R = 9$，解得 $R = \frac{9}{4} = 2.25$ cm。但需验证是否满足侧面相切条件。
结论：此情况可行，但半径较小。

情况2：两球沿轴截面对角线方向排列

1. 几何关系分析：
   • 下方球心 $O_1$ 到下底面距离为 $R$，到左侧距离为 $R$，故坐标为 $(-4 + R, R)$。
   • 上方球心 $O_2$ 到上底面距离为 $R$，到右侧距离为 $R$，故坐标为 $(4 - R, 9 - R)$。
2. 球心距离方程：
   两球相切，球心距离为 $2R$，故有：
   $\sqrt{[(4 - R) - (-4 + R)]^2 + [(9 - R) - R]^2} = 2R$
   化简得：
   $(8 - 2R)^2 + (9 - 2R)^2 = (2R)^2$
3. 解方程：
   展开并整理得：
   $4R^2 - 68R + 145 = 0$
   解得 $R = \frac{5}{2}$ 或 $R = \frac{29}{2}$（舍去不合理解）。
   结论：此情况半径为 $R = \frac{5}{2} = 2.5$ cm，大于情况1。

综合比较

情况2的半径更大，故铁球半径的最大值为 $\frac{5}{2}$ cm。