题目

1. 已知 f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1, 求 f(x) 的 Lagrange 插值多项式

1. 已知 f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1, 求 f(x) 的 Lagrange 插值多项式

题目解答

答案

已知 $ f(-1) = 2 $, $ f(1) = 1 $, $ f(2) = 1 $，利用拉格朗日插值公式： $$ L_2(x) = \sum_{i=0}^{2} f(x_i) l_i(x) $$ 其中，拉格朗日基函数 $ l_i(x) $ 为： $$ l_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{6} $$ $$ l_1(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)} = -\frac{(x+1)(x-2)}{2} $$ $$ l_2(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)} = \frac{(x+1)(x-1)}{3} $$ 代入得： $$ L_2(x) = 2 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{6} + 1 \cdot \left(-\frac{(x+1)(x-2)}{2}\right) + 1 \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{3} $$ 化简得： $$ L_2(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{3} - \frac{x^2 - x - 2}{2} + \frac{x^2 - 1}{3} = \frac{x^2 - 3x + 8}{6} $$ **答案：** $$ \boxed{\frac{1}{6} (x^2 - 3x + 8)} $$

解析

考查要点：本题主要考查拉格朗日插值多项式的构造方法，要求根据给定的三个点，建立二次插值多项式。

解题核心思路：

  1. 拉格朗日插值公式：通过构造基函数$l_i(x)$，将各点的函数值加权求和，得到插值多项式。
  2. 基函数构造：每个基函数$l_i(x)$是分母为节点差乘积、分子为$(x - x_j)$（除去$x_i$）的分式。
  3. 代数化简：将各基函数与对应函数值相乘后相加，展开并合并同类项，最终得到最简形式。

破题关键点：

  • 正确计算基函数的分母：注意分母是节点差的乘积，需代入具体数值计算。
  • 符号处理：展开多项式时注意符号，避免计算错误。
  • 通分合并：将不同分母的项通分后合并，确保最终结果正确。

已知三个插值点$(-1, 2)$，$(1, 1)$，$(2, 1)$，构造二次拉格朗日插值多项式$L_2(x)$。

步骤1：构造拉格朗日基函数

  1. 基函数$l_0(x)$（对应$x_0 = -1$）：
    $l_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(-1-1)(-1-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{6}$
  2. 基函数$l_1(x)$（对应$x_1 = 1$）：
    $l_1(x) = \frac{(x+1)(x-2)}{(1+1)(1-2)} = -\frac{(x+1)(x-2)}{2}$
  3. 基函数$l_2(x)$（对应$x_2 = 2$）：
    $l_2(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{(2+1)(2-1)} = \frac{(x+1)(x-1)}{3}$

步骤2：代入拉格朗日插值公式

$L_2(x) = 2 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{6} + 1 \cdot \left(-\frac{(x+1)(x-2)}{2}\right) + 1 \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{3}$

步骤3：展开并合并同类项

  1. 展开各项：

    • 第一项：$\frac{2(x^2 - 3x + 2)}{6} = \frac{x^2 - 3x + 2}{3}$
    • 第二项：$-\frac{(x^2 - x - 2)}{2}$
    • 第三项：$\frac{(x^2 - 1)}{3}$

  2. 通分合并：
    $\frac{x^2 - 3x + 2}{3} - \frac{x^2 - x - 2}{2} + \frac{x^2 - 1}{3} = \frac{2(x^2 - 3x + 2) - 3(x^2 - x - 2) + 2(x^2 - 1)}{6}$

  3. 化简分子：
    $2x^2 - 6x + 4 - 3x^2 + 3x + 6 + 2x^2 - 2 = x^2 - 3x + 8$

最终结果为：
$L_2(x) = \frac{x^2 - 3x + 8}{6}$