2.求下列不定积分:-|||-(1) int dfrac (dx)({x)^2};-|||-(2) int xsqrt (x)dx; 2.求下列不定积分:-|||-(1) int dfrac (dx)({x)^2};-|||-(2) int xsqrt (x)dx; 2.求下列不定积分:-|||-(1) int dfrac (dx)({x)^2};-|||-(2) int xsqrt (x)dx;

本题主要考查不定积分的计算，涉及幂函数、指数函数、三角函数等的积分公式及积分的运算性质，具体如下：

1. 幂函数积分公式

对于$\int x^k dx$（$k\neq-1$），积分公式为$\int x^k dx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C$；当$k=-1$时，$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$。

2. 积分的线性性质

$\int [af(x)+bg(x)]dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$，用于拆分复杂积分。

3. 三角函数积分公式

• $\int \cos x dx=\sin x+C$，$\int \sin x dx=-\cos x+C$
• $\int \sec^2 x dx=\tan x+C$，$\int \csc^2 x dx=-\cot x+C$
• 降幂公式：$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$，$1+\cos 2x=2\cos^2 x$，$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$

4. 指数函数积分公式

$\int e^x dx=e^x+C$，$\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$（$a>0,a\neq1$）。

题目详解

(1)$\int \frac{dx}{x^2}$

$\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$。

(2)$\int x\sqrt{x}dx$

$x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$，$\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+C=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+C$。

(3)$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$

$\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2\sqrt{x}+C$。

(4)$\int x^2\sqrt[3]{x}dx$

$x^2\sqrt[3]{x}=x^{\frac{7}{3}}$，$\int x^{\frac{7}{3}}dx=\frac{x^{\frac{10}{3}}}{\frac{10}{3}}+C=\frac{3}{10}x^{\frac{10}{3}}+C$。

(5)$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x}}$

$x^2\sqrt{x}=x^{\frac{5}{2}}$，$\int x^{-\frac{5}{2}}dx=\frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}+C=-\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}+C$。

(6)$\int \sqrt[m]{x^n}dx$

$\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}$，$\int x^{\frac{n}{m}}dx=\frac{x^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}+C=\frac{m}{m+n}x^{\frac{m+n}{m}}+C$。

(7)$\int 5x^3dx$

$5\int x^3dx=5\cdot\frac{x^4}{4}+C=\frac{5}{4}x^4+C$。

(8)$\int (x^2-3x+2)dx$

$\int x^2dx-3\int xdx+2\int dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}x^2+2x+C$。

(9)$\int \frac{dh}{\sqrt{2gh}}$

$\frac{1}{\sqrt{2g}}\int h^{-\frac{1}{2}}dh=\frac{1}{\sqrt{2g}}\cdot2\sqrt{h}+C=\sqrt{\frac{2h}{g}}+C$。

(10)$\int (x^2+1)^2dx$

$(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$，$\int (x^4+2x^2+1)dx=\frac{x^5}{5}+\frac{2}{3}x^3+x+C$。

(11)$\int (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx$

展开得$x^2+x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}-1$，积分得$\frac{x^3}{3}+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x+C$。

(12)$\int \frac{(1-x)^2}{\sqrt{x}}dx$

展开得$x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$，积分得$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}+C$。

(13)$\int (2e^x+\frac{3}{x})dx$

$2\int e^x dx+3\int \frac{1}{x}dx=2e^x+3\ln|x|+C$。

(14)$\int (\frac{3}{1+x^2}-\frac{2}{\sqrt{1-x^2}})dx$

$3\arctan x-2\arcsin x+C$。

(15)$\int e^x(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}})dx$

展开得$e^x-x^{-\frac{1}{2}}$，积分得$e^x-2\sqrt{x}+C$。

(16)$\int 3^x e^x dx$

$(3e)^x$积分得$\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+C=\frac{3^x e^x}{\ln3+1}+C$。

(17)$\int \frac{2\cdot3^x-5\cdot2^x}{3^x}dx$

拆分得$2-5(\frac{2}{3})^x$，积分得$2x-\frac{5}{\ln\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})^x+C$。

(18)$\int \sec x(\sec x-\tan x)dx$

展开得$\sec^2x-\sec x\tan x$，积分得$\tan x-\sec x+C$。

(19)$\int \cos^2\frac{x}{2}dx$

用降幂公式$\frac{1+\cos x}{2}$，积分得$\frac{x+\sin x}{2}+C$。

(20)$\int \frac{dx}{1+\cos 2x}$

$1+\cos 2x=2\cos^2x$，积分得$\frac{1}{2}\tan x+C$。

(21)$\int \frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}dx$

$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$，约分后得$\cos x+\sin x$，积分得$\sin x-\cos x+C$。

(22)$\int \frac{\cos 2x}{\cos^2x\sin^2x}dx$

$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$，拆分得$\csc^2x-\sec^2x$，积分得$-\cot x-\tan x+C$。

(23)$\int \cot^2x dx$

$\cot^2x=\csc^2x-1$，积分得$-\cot x-x+C$。

(24)$\int \cos\theta(\tan\theta+\sec\theta)d\theta$

展开得$\sin\theta+1$，积分得$-\cos\theta+\theta+C$。

(25)$\int \frac{x^2}{x^2+1}dx$

拆分得$1-\frac{1}{x^2+1}$，积分得$x-\arctan x+C$。

(26)$\int \frac{3x^4+2x^2}{x^2+1}dx$

除法得$3x^2-1+\frac{1}{x^2+1}$，积分得$x^3-x+\arctan x+C$。