题目
18.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 f(a)-|||-(b)gt 0 (a)cdot f(dfrac (a+b)(2))lt 0. 试证明至少存在一点 xi in (a,b), 使得-|||-'(xi )=f(xi ).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的零点
由于 $f(a) \cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$，根据介值定理，函数 $f(x)$ 在区间 $\left(a, \frac{a+b}{2}\right)$ 内至少存在一个零点，记为 $\xi_1$，即 $f(\xi_1) = 0$。
步骤 2：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = e^{-x} f(x)$，则 $F(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 内可导。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(\xi_1) = e^{-\xi_1} f(\xi_1) = 0$，且 $F(b) = e^{-b} f(b) > 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1, b)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 4：求导并化简
$F'(x) = e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x))$，因此 $F'(\xi) = e^{-\xi} (f'(\xi) - f(\xi)) = 0$。
步骤 5：得出结论
由于 $e^{-\xi} \neq 0$，则 $f'(\xi) - f(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) = f(\xi)$。
由于 $f(a) \cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$，根据介值定理，函数 $f(x)$ 在区间 $\left(a, \frac{a+b}{2}\right)$ 内至少存在一个零点，记为 $\xi_1$，即 $f(\xi_1) = 0$。
步骤 2：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x) = e^{-x} f(x)$，则 $F(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 内可导。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(\xi_1) = e^{-\xi_1} f(\xi_1) = 0$，且 $F(b) = e^{-b} f(b) > 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1, b)$，使得 $F'(\xi) = 0$。
步骤 4：求导并化简
$F'(x) = e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x} (f'(x) - f(x))$，因此 $F'(\xi) = e^{-\xi} (f'(\xi) - f(\xi)) = 0$。
步骤 5：得出结论
由于 $e^{-\xi} \neq 0$，则 $f'(\xi) - f(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) = f(\xi)$。