[题目]已知 overrightarrow (OA)=i+3k, overrightarrow (OB)=overrightarrow (j)+3k 求 Delta OAB 的面积.

考查要点：本题主要考查空间向量的坐标运算、向量夹角的计算以及三角形面积的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定点的坐标：根据向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$的坐标形式，写出点$A$和$B$的坐标。
2. 计算向量夹角：利用向量的点积公式求出$\cos \angle AOB$，再通过三角恒等式求出$\sin \angle AOB$。
3. 面积公式应用：利用三角形面积公式$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \sin \angle AOB$计算面积。

破题关键点：

• 正确计算向量的点积和模长，避免符号错误。
• 灵活选择方法：除点积法外，也可通过向量叉积的模长直接求面积（更快捷）。

步骤1：确定点坐标

• $\overrightarrow{OA} = i + 3k$对应点$A(1, 0, 3)$。
• $\overrightarrow{OB} = j + 3k$对应点$B(0, 1, 3)$。
• 原点$O(0, 0, 0)$。

步骤2：计算向量点积
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (1)(0) + (0)(1) + (3)(3) = 9.$

步骤3：计算向量模长
$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{10}, \quad |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.$

步骤4：求夹角余弦值
$\cos \angle AOB = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}|} = \frac{9}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{9}{10}.$

步骤5：求夹角正弦值
$\sin \angle AOB = \sqrt{1 - \cos^2 \angle AOB} = \sqrt{1 - \left(\frac{9}{10}\right)^2} = \frac{\sqrt{19}}{10}.$

步骤6：计算三角形面积
$S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{\sqrt{19}}{2}.$