(4)摆线 =a(t-sin t) =a(1-cos t) 的一拱, =0, 绕直线 =2a.

考查要点：本题主要考查利用定积分计算旋转体体积，涉及参数方程的应用及三角函数积分技巧。

解题核心思路：

1. 确定旋转体结构：将摆线绕直线$y=2a$旋转的体积分解为圆柱体体积减去摆线下方体积。
2. 参数方程转换：利用摆线的参数方程$x=a(t-\sin t)$，$y=a(1-\cos t)$，将积分变量从$x$转换为$t$。
3. 积分化简：通过三角恒等式展开被积函数，并利用周期性积分性质简化计算。

破题关键点：

• 圆柱体体积：由矩形区域$x \in [0,2\pi a]$，$y \in [0,2a]$绕$y=2a$旋转得到。
• 摆线部分体积：通过参数方程换元，将定积分转化为关于$t$的积分，并利用$\cos t$的幂次积分公式。

步骤1：计算圆柱体体积

由$x=0$，$x=2\pi a$，$y=0$，$y=2a$围成的矩形绕$y=2a$旋转，形成圆柱体：
$V_{\text{圆柱}} = \pi \cdot (2a)^2 \cdot (2\pi a) = 8\pi^2 a^3.$

步骤2：计算摆线下方体积

摆线下方体积由积分$\int_{0}^{2\pi a} \pi (2a - y)^2 dx$给出。将$x$和$y$用参数$t$表示：
$x = a(t - \sin t), \quad y = a(1 - \cos t), \quad dx = a(1 - \cos t) dt.$
积分变为：
$\int_{0}^{2\pi} \pi \left[2a - a(1 - \cos t)\right]^2 \cdot a(1 - \cos t) dt.$

步骤3：展开并化简被积函数

$\begin{aligned}\left[2a - a(1 - \cos t)\right]^2 &= a^2 (1 + \cos t)^2, \\\text{积分表达式} &= \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t)^2 (1 - \cos t) dt.\end{aligned}$

步骤4：展开多项式并分项积分

展开$(1 + \cos t)^2 (1 - \cos t)$：
$1 + 2\cos t + \cos^2 t - \cos^3 t - 2\cos^4 t - \cos^5 t.$
利用三角函数积分性质：
$\int_{0}^{2\pi} \cos^k t \, dt = \begin{cases}2\pi & k=0, \\0 & k \text{为奇数}, \\\pi \cdot \frac{(k-1)!!}{k!!} & k \text{为偶数}.\end{cases}$
最终仅保留非零项：
$\int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t - \cos^2 t - \cos^3 t) dt = 2\pi - \pi = \pi.$

步骤5：计算最终体积

$V = 8\pi^2 a^3 - \pi a^3 \cdot \pi = 7\pi^2 a^3.$