10.(10分)计算:-|||-(1) dfrac (1)(1-i)+dfrac (1)(i(1+i)) ;-|||-(2) ((dfrac {1)(2)+dfrac (sqrt {3)}(2)i)}^4 -

考查要点：

1. 复数的有理化运算：处理分母为复数的情况，通常通过乘以共轭复数化简。
2. 复数的幂运算：利用代数展开或极坐标形式简化计算。

解题核心思路：

• 第（1）题：分别对两个分式进行有理化，化简后合并同类项。
• 第（2）题：通过两次平方运算逐步展开，或利用复数的根性质简化计算。

破题关键点：

• 分式有理化：通过分母的共轭复数消去虚数单位。
• 幂运算规律：注意虚数单位$i$的周期性（$i^4=1$）和复数的模长与辐角关系。

第（1）题

目标：计算 $\dfrac{1}{1-i} + \dfrac{1}{i(1+i)}$

步骤1：有理化第一个分式

$\dfrac{1}{1-i} = \dfrac{1 \cdot (1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1+i}{1^2 - i^2} = \dfrac{1+i}{2}$

步骤2：化简第二个分式的分母

$i(1+i) = i + i^2 = i - 1$，因此：
$\dfrac{1}{i(1+i)} = \dfrac{1}{-1+i} = \dfrac{1 \cdot (-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \dfrac{-1-i}{(-1)^2 - i^2} = \dfrac{-1-i}{2}$

步骤3：合并两个分式

$\dfrac{1+i}{2} + \dfrac{-1-i}{2} = \dfrac{(1+i) + (-1-i)}{2} = \dfrac{0}{2} = 0$

第（2）题

目标：计算 $\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)^4$

解法一：逐步平方展开

1. 第一次平方：
   $\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2 = \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

2. 第二次平方：
   $\left( -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2 = \left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}i + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

解法二：利用复数根性质

令 $\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$，则 $\omega^3 = 1$（三次单位根）。原式可表示为：
$\left( -\omega^2 \right)^4 = \omega^8 = \omega^{6+2} = \omega^2 = \overline{\omega} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$