题目
(单选题) (int )_(0)^2pi (x)^2cos xdx= ().-|||-A. 0-|||-B π-|||-2π-|||-C-|||-4π-|||-D
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用分部积分法
首先，我们应用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是：$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$。在这个问题中，我们选择$u(x) = x^2$和$v'(x) = \cos x$，因此$v(x) = \sin x$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有：$\int_{0}^{2\pi} x^2 \cos x dx = x^2 \sin x|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} 2x \sin x dx$。接下来，我们需要计算第二个积分$\int_{0}^{2\pi} 2x \sin x dx$。我们再次应用分部积分法，选择$u(x) = 2x$和$v'(x) = \sin x$，因此$v(x) = -\cos x$。
步骤 3：计算第二个积分
根据分部积分法，我们有：$\int_{0}^{2\pi} 2x \sin x dx = -2x \cos x|_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} 2 \cos x dx$。计算这个积分，我们得到：$-2x \cos x|_{0}^{2\pi} + 2 \sin x|_{0}^{2\pi} = -2(2\pi) \cos(2\pi) + 2 \sin(2\pi) - (-2(0) \cos(0) + 2 \sin(0)) = -4\pi + 0 - 0 = -4\pi$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤2和步骤3的结果代入，我们得到：$\int_{0}^{2\pi} x^2 \cos x dx = (2\pi)^2 \sin(2\pi) - 0 - (-4\pi) = 0 + 4\pi = 4\pi$。
首先，我们应用分部积分法来解决这个问题。分部积分法的公式是：$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$。在这个问题中，我们选择$u(x) = x^2$和$v'(x) = \cos x$，因此$v(x) = \sin x$。
步骤 2：计算积分
根据分部积分法，我们有：$\int_{0}^{2\pi} x^2 \cos x dx = x^2 \sin x|_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} 2x \sin x dx$。接下来，我们需要计算第二个积分$\int_{0}^{2\pi} 2x \sin x dx$。我们再次应用分部积分法，选择$u(x) = 2x$和$v'(x) = \sin x$，因此$v(x) = -\cos x$。
步骤 3：计算第二个积分
根据分部积分法，我们有：$\int_{0}^{2\pi} 2x \sin x dx = -2x \cos x|_{0}^{2\pi} + \int_{0}^{2\pi} 2 \cos x dx$。计算这个积分，我们得到：$-2x \cos x|_{0}^{2\pi} + 2 \sin x|_{0}^{2\pi} = -2(2\pi) \cos(2\pi) + 2 \sin(2\pi) - (-2(0) \cos(0) + 2 \sin(0)) = -4\pi + 0 - 0 = -4\pi$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤2和步骤3的结果代入，我们得到：$\int_{0}^{2\pi} x^2 \cos x dx = (2\pi)^2 \sin(2\pi) - 0 - (-4\pi) = 0 + 4\pi = 4\pi$。