题目
设Sigma为曲面z=(1)/(2)(x^2+y^2)被z=2所截部分的下 侧曲面，则iintlimits_(Sigma)(z^2+x)dydz-zdxdy= （ ）A. 0B. 4piC. 8piD. -8pi
设$\Sigma$为曲面$z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$被z=2所截部分的下 侧曲面，则$\iint\limits_{\Sigma}(z^{2}+x)dydz-zdxdy=$ （ ）
A. 0
B. $ 4\pi$
C. $ 8\pi$
D. $-8\pi$
题目解答
答案
C. $ 8\pi$
解析
步骤 1：确定曲面和闭合曲面
曲面 $\Sigma$ 为 $z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$ 被 $z=2$ 所截部分的下侧曲面。将 $\Sigma$ 与平面 $z=2$ 的上侧曲面 $\Sigma_1$ 构成闭合曲面。
步骤 2：应用高斯公式
利用高斯公式，将闭合曲面的通量积分转化为体积积分： \[ \iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中，$\mathbf{F} = (z^2 + x, 0, -z)$，散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$。因此： \[ \iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0 \]
步骤 3：计算曲面 $\Sigma_1$ 的通量
平面 $z=2$ 上侧，法向量 $\mathbf{n} = (0,0,1)$，通量为： \[ \iint\limits_{\Sigma_1} (-2) \, dxdy = -2 \times \pi \times 2^2 = -8\pi \]
步骤 4：计算曲面 $\Sigma$ 的通量
根据步骤 2 和步骤 3，曲面 $\Sigma$ 的通量为： \[ \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -\iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 8\pi \]
曲面 $\Sigma$ 为 $z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})$ 被 $z=2$ 所截部分的下侧曲面。将 $\Sigma$ 与平面 $z=2$ 的上侧曲面 $\Sigma_1$ 构成闭合曲面。
步骤 2：应用高斯公式
利用高斯公式，将闭合曲面的通量积分转化为体积积分： \[ \iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中，$\mathbf{F} = (z^2 + x, 0, -z)$，散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$。因此： \[ \iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0 \]
步骤 3：计算曲面 $\Sigma_1$ 的通量
平面 $z=2$ 上侧，法向量 $\mathbf{n} = (0,0,1)$，通量为： \[ \iint\limits_{\Sigma_1} (-2) \, dxdy = -2 \times \pi \times 2^2 = -8\pi \]
步骤 4：计算曲面 $\Sigma$ 的通量
根据步骤 2 和步骤 3，曲面 $\Sigma$ 的通量为： \[ \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = -\iint\limits_{\Sigma_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 8\pi \]