题目
设曲线 y=x^3 与直线 x=2,y=0 所围平面图形记为 D，则 D 的面积 D 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积分别为A. 4,(64)/(5)piB. 2,(64)/(5)piC. 2,(32)/(5)piD. 4,(32)/(5)pi
设曲线 $y=x^{3}$ 与直线 $x=2,y=0$ 所围平面图形记为 $D$，则 $D$ 的面积 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的旋转体体积分别为
A. $4,\frac{64}{5}\pi$
B. $2,\frac{64}{5}\pi$
C. $2,\frac{32}{5}\pi$
D. $4,\frac{32}{5}\pi$
题目解答
答案
A. $4,\frac{64}{5}\pi$
解析
步骤 1：计算平面图形 $D$ 的面积
曲线 $y=x^{3}$ 与直线 $x=2$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形 $D$ 的面积可以通过计算定积分来求得。具体来说，我们需要计算 $y=x^{3}$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 的定积分。
\[ \text{面积} = \int_0^2 x^3 \, dx \]
计算这个积分：
\[ \int_0^2 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
所以，平面图形 $D$ 的面积为 $4$。
步骤 2：计算旋转体的体积
将平面图形 $D$ 绕 $y$-轴旋转一周，可以使用柱壳法来求得旋转体的体积。柱壳法的公式为：
\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx \]
其中 $f(x) = x^3$，$a = 0$，$b = 2$。代入公式，我们得到：
\[ V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^3 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^4 \, dx \]
计算这个积分：
\[ 2\pi \int_0^2 x^4 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 2\pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{64\pi}{5} \]
所以，旋转体的体积为 $\frac{64\pi}{5}$。
曲线 $y=x^{3}$ 与直线 $x=2$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形 $D$ 的面积可以通过计算定积分来求得。具体来说，我们需要计算 $y=x^{3}$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 的定积分。
\[ \text{面积} = \int_0^2 x^3 \, dx \]
计算这个积分：
\[ \int_0^2 x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
所以，平面图形 $D$ 的面积为 $4$。
步骤 2：计算旋转体的体积
将平面图形 $D$ 绕 $y$-轴旋转一周，可以使用柱壳法来求得旋转体的体积。柱壳法的公式为：
\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx \]
其中 $f(x) = x^3$，$a = 0$，$b = 2$。代入公式，我们得到：
\[ V = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^3 \, dx = 2\pi \int_0^2 x^4 \, dx \]
计算这个积分：
\[ 2\pi \int_0^2 x^4 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 2\pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{64\pi}{5} \]
所以，旋转体的体积为 $\frac{64\pi}{5}$。