题目
将对角线长为1的矩形绕它的一边旋转而成一个圆柱体，圆柱体的最大体积为（ ）A. (sqrt(6))/(9)πB. (sqrt(3))/(9)πC. (2sqrt(3))/(9)πD. (4sqrt(3))/(9)π
将对角线长为1的矩形绕它的一边旋转而成一个圆柱体，圆柱体的最大体积为（ ）
- A. $\frac{\sqrt{6}}{9}$π
- B. $\frac{\sqrt{3}}{9}π$
- C. $\frac{2\sqrt{3}}{9}π$
- D. $\frac{4\sqrt{3}}{9}π$
题目解答
答案
解：如图所示，不妨设AB=cosθ，BC=sinθ，
则圆柱的体积V=π⋅cos2θ⋅sinθ=π⋅（1-sin2θ）⋅sinθ．
令t=sinθ，0＜t＜1．
考查函数y=π⋅t⋅（1-t2）=π（-t3+t），
则y′=π（-3t2+1），
当$t=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，函数取得最大值，
∴$V_{max}=π⋅(1-\frac{1}{3})⋅\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{9}\sqrt{3}π$．
故选：C．
则圆柱的体积V=π⋅cos2θ⋅sinθ=π⋅（1-sin2θ）⋅sinθ．
令t=sinθ，0＜t＜1．
考查函数y=π⋅t⋅（1-t2）=π（-t3+t），
则y′=π（-3t2+1），
当$t=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，函数取得最大值，
∴$V_{max}=π⋅(1-\frac{1}{3})⋅\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{9}\sqrt{3}π$．
故选：C．
解析
步骤 1：确定矩形的边长
设矩形的长为 $l$，宽为 $w$，则根据勾股定理，有 $l^2 + w^2 = 1$。
步骤 2：确定圆柱体的体积
当矩形绕其一边旋转时，形成的圆柱体的体积为 $V = \pi r^2 h$，其中 $r$ 是圆柱体的底面半径，$h$ 是圆柱体的高。如果矩形绕长边旋转，则 $r = w$，$h = l$；如果绕宽边旋转，则 $r = l$，$h = w$。因此，圆柱体的体积可以表示为 $V = \pi w^2 l$ 或 $V = \pi l^2 w$。
步骤 3：求圆柱体体积的最大值
为了求出圆柱体体积的最大值，我们需要将 $V$ 表达式转换为一个变量的函数。由于 $l^2 + w^2 = 1$，我们可以将 $l$ 或 $w$ 表达为另一个变量的函数。不失一般性，设 $l = \sqrt{1 - w^2}$，则圆柱体的体积为 $V = \pi w^2 \sqrt{1 - w^2}$。为了求出 $V$ 的最大值，我们需要对 $V$ 关于 $w$ 求导，并找到导数为零的点。
步骤 4：求导并找到导数为零的点
对 $V = \pi w^2 \sqrt{1 - w^2}$ 关于 $w$ 求导，得到 $V' = \pi (2w \sqrt{1 - w^2} - w^3 / \sqrt{1 - w^2})$。令 $V' = 0$，解得 $w = \sqrt{3}/3$。将 $w = \sqrt{3}/3$ 代入 $l = \sqrt{1 - w^2}$，得到 $l = \sqrt{2}/3$。
步骤 5：计算圆柱体的最大体积
将 $w = \sqrt{3}/3$ 和 $l = \sqrt{2}/3$ 代入 $V = \pi w^2 l$，得到 $V_{max} = \pi (\sqrt{3}/3)^2 (\sqrt{2}/3) = \frac{2\sqrt{3}}{9}π$。
设矩形的长为 $l$，宽为 $w$，则根据勾股定理，有 $l^2 + w^2 = 1$。
步骤 2：确定圆柱体的体积
当矩形绕其一边旋转时，形成的圆柱体的体积为 $V = \pi r^2 h$，其中 $r$ 是圆柱体的底面半径，$h$ 是圆柱体的高。如果矩形绕长边旋转，则 $r = w$，$h = l$；如果绕宽边旋转，则 $r = l$，$h = w$。因此，圆柱体的体积可以表示为 $V = \pi w^2 l$ 或 $V = \pi l^2 w$。
步骤 3：求圆柱体体积的最大值
为了求出圆柱体体积的最大值，我们需要将 $V$ 表达式转换为一个变量的函数。由于 $l^2 + w^2 = 1$，我们可以将 $l$ 或 $w$ 表达为另一个变量的函数。不失一般性，设 $l = \sqrt{1 - w^2}$，则圆柱体的体积为 $V = \pi w^2 \sqrt{1 - w^2}$。为了求出 $V$ 的最大值，我们需要对 $V$ 关于 $w$ 求导，并找到导数为零的点。
步骤 4：求导并找到导数为零的点
对 $V = \pi w^2 \sqrt{1 - w^2}$ 关于 $w$ 求导，得到 $V' = \pi (2w \sqrt{1 - w^2} - w^3 / \sqrt{1 - w^2})$。令 $V' = 0$，解得 $w = \sqrt{3}/3$。将 $w = \sqrt{3}/3$ 代入 $l = \sqrt{1 - w^2}$，得到 $l = \sqrt{2}/3$。
步骤 5：计算圆柱体的最大体积
将 $w = \sqrt{3}/3$ 和 $l = \sqrt{2}/3$ 代入 $V = \pi w^2 l$，得到 $V_{max} = \pi (\sqrt{3}/3)^2 (\sqrt{2}/3) = \frac{2\sqrt{3}}{9}π$。