设同一项目的A，B，C三个核心模块分别由甲，乙，丙三个人负责编写代码，设这A，B，C三个模块在整个项目中的占比分别为0.5，0.25，0.25。甲，乙，丙编写的代码出错的概率分别为0.5，0.25，0.25。（1）求项目运行报错的概率；（2）如果项目运行报错，求是因为甲编写的代码出错的概率.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯定理的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 全概率公式：将项目报错的总概率分解为各模块独立导致报错的概率之和，每个模块的贡献为模块占比 × 该模块出错概率。
2. 贝叶斯定理：在已知项目报错的情况下，计算甲模块导致报错的条件概率，需用甲模块的贡献概率除以总报错概率。

破题关键点：

• 明确各模块出错对总项目的独立贡献方式。
• 理解题目中“占比”隐含的权重关系，即模块出错对总项目的影响程度。

（1）项目运行报错的概率

计算各模块导致报错的概率

• 模块A：占比 $0.5$，甲出错概率 $0.5$，贡献概率为 $0.5 \times 0.5 = 0.25$。
• 模块B：占比 $0.25$，乙出错概率 $0.25$，贡献概率为 $0.25 \times 0.25 = 0.0625$。
• 模块C：占比 $0.25$，丙出错概率 $0.25$，贡献概率为 $0.25 \times 0.25 = 0.0625$。

总概率求和

总报错概率为各模块贡献之和：
$P(\text{报错}) = 0.25 + 0.0625 + 0.0625 = 0.375.$

（2）甲模块导致报错的条件概率

应用贝叶斯定理

条件概率公式为：
$P(\text{甲出错} \mid \text{报错}) = \frac{P(\text{甲出错导致报错})}{P(\text{报错})} = \frac{0.25}{0.375} = \frac{2}{3}.$