题目
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1．（1）若AB=(3)/(2)，求BC；（2）若AB=2BC，求cos∠BDC．
在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1．
（1）若AB=$\frac{3}{2}$，求BC；
（2）若AB=2BC，求cos∠BDC．
（1）若AB=$\frac{3}{2}$，求BC；
（2）若AB=2BC，求cos∠BDC．
题目解答
答案
解：（1）在四边形ABCD中，AD=BD=CD=1．AB=$\frac{3}{2}$，
所以：cos∠ABD=$\frac{{AB}^{2}+{BD}^{2}-{AD}^{2}}{2•AB•BD}$=$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}+{1}^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{3}{2}×1}=\frac{3}{4}$，
由于AB∥CD，
所以∠BDC=∠ABD，
即cos∠BDC=cos∠ABD=$\frac{3}{4}$，
所以BC2=BD2+CD2-2•BD•CD•cos∠BDC=${1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，
所以BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）如图所示：
设BC=x，则AB=2BC=2x，
设AM=MB=BC=DN=x（0＜x＜1），
则BC2=CN2+BN2，
整理得x2=（1-x）2+（1-x2）
即x2+2x-2=0，
解得$x=\sqrt{3}-1$或-$\sqrt{3}-1$（负值舍去）．
所以$cos∠BDC=\frac{DN}{BD}=\sqrt{3}-1$．
所以：cos∠ABD=$\frac{{AB}^{2}+{BD}^{2}-{AD}^{2}}{2•AB•BD}$=$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}+{1}^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{3}{2}×1}=\frac{3}{4}$，
由于AB∥CD，
所以∠BDC=∠ABD，
即cos∠BDC=cos∠ABD=$\frac{3}{4}$，
所以BC2=BD2+CD2-2•BD•CD•cos∠BDC=${1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，
所以BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）如图所示：
设BC=x，则AB=2BC=2x，
设AM=MB=BC=DN=x（0＜x＜1），
则BC2=CN2+BN2，
整理得x2=（1-x）2+（1-x2）
即x2+2x-2=0，
解得$x=\sqrt{3}-1$或-$\sqrt{3}-1$（负值舍去）．
所以$cos∠BDC=\frac{DN}{BD}=\sqrt{3}-1$．
解析
步骤 1：求cos∠ABD
在△ABD中，利用余弦定理求解cos∠ABD。
步骤 2：求BC
利用cos∠BDC=cos∠ABD，求解BC的长度。
步骤 3：求cos∠BDC
在△BDC中，利用余弦定理求解cos∠BDC。
在△ABD中，利用余弦定理求解cos∠ABD。
步骤 2：求BC
利用cos∠BDC=cos∠ABD，求解BC的长度。
步骤 3：求cos∠BDC
在△BDC中，利用余弦定理求解cos∠BDC。