求下列极限.-|||-lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-sqrt (x+1)}(x);

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\dfrac{0}{0}$型不定式的能力，需要灵活运用导数工具或泰勒展开等技巧。

解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致$\dfrac{0}{0}$型不定式时，可优先考虑洛必达法则或等价无穷小替换。本题分子中的$e^x$和$\sqrt{x+1}$在$x \rightarrow 0$时均可展开为泰勒多项式，通过展开后化简分子，再结合分母$x$的约简即可求解。

破题关键点：

1. 识别不定式类型：分子和分母在$x=0$处均为0，属于$\dfrac{0}{0}$型。
2. 选择合适方法：洛必达法则或泰勒展开均可快速求解，但需注意展开项的选取。

方法一：洛必达法则

1. 验证条件：当$x \rightarrow 0$时，分子$e^x - \sqrt{x+1} \rightarrow 0$，分母$x \rightarrow 0$，满足$\dfrac{0}{0}$型不定式。
2. 应用洛必达法则：
   对分子和分母分别求导：
   • 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(e^x - \sqrt{x+1}) = e^x - \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$
   • 分母导数：$\dfrac{d}{dx}(x) = 1$
     因此，原极限转化为：
     $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x - \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{1}$
3. 代入$x=0$：
   $e^0 - \dfrac{1}{2\sqrt{0+1}} = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

方法二：泰勒展开

1. 展开分子中的函数：
   • $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$
   • $\sqrt{x+1} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + o(x^2)$
2. 计算分子差：
   $e^x - \sqrt{x+1} = \left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8}\right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5x^2}{8} + o(x^2)$
3. 代入原式并化简：
   $\dfrac{\dfrac{x}{2} + \dfrac{5x^2}{8} + o(x^2)}{x} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5x}{8} + o(x)$
   当$x \rightarrow 0$时，高阶无穷小项趋近于0，故极限为$\dfrac{1}{2}$。