4.设A,B是两个事件.-|||-(1)已知 overline (B)=overline (A)B, 验证 =B.-|||-(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为 (A)+P(B)-2P(AB).

考查要点：

1. 事件运算的基本性质（如分配律、德摩根律等）；
2. 概率的加法公式及其在互斥事件中的应用；
3. 事件关系的逻辑推导能力。

解题核心思路：

1. 第（1）题：通过事件运算律对等式进行变形，结合必然事件的性质推导出$A=B$；
2. 第（2）题：明确“恰好有一个发生”的事件表达式，利用互斥事件概率加法公式展开计算。

破题关键点：

1. 第（1）题：对等式两边同时进行并集操作，简化后利用事件吸收律；
2. 第（2）题：将“恰好一个发生”分解为两个互斥事件，分别计算概率后相加。

第（1）题

已知：$A\overline{B} = \overline{A}B$，需验证$A = B$。

步骤1：构造等式两边的并集

对等式两边同时并上$AB$：
$(A\overline{B}) \cup (AB) = (\overline{A}B) \cup (AB).$

步骤2：提取公共因子

左边提取$A$，右边提取$B$：
$A(\overline{B} \cup B) = B(\overline{A} \cup A).$

步骤3：简化事件

$\overline{B} \cup B = S$（必然事件），$\overline{A} \cup A = S$，因此：
$A \cdot S = B \cdot S.$

步骤4：结合必然事件性质

$A \cdot S = A$，$B \cdot S = B$，故得：
$A = B.$

第（2）题

目标：求事件“A和B恰好有一个发生”的概率。

步骤1：确定事件表达式

“恰好一个发生”可表示为：
$A\overline{B} \cup \overline{A}B.$

步骤2：利用互斥事件概率公式

因$A\overline{B}$与$\overline{A}B$互斥，概率为：
$P(A\overline{B} \cup \overline{A}B) = P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B).$

步骤3：展开概率表达式

根据概率性质：
$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB), \quad P(\overline{A}B) = P(B) - P(AB).$

步骤4：合并结果

相加得：
$P(A) + P(B) - 2P(AB).$