题目
(2)求微分方程}x(y^2+1)dx+y(1-x^2)dy=0y|_{x=0)=1.的通解和特解。
(2)求微分方程$\left\{\begin{matrix}x(y^{2}+1)dx+y(1-x^{2})dy=0\\y|_{x=0}=1\end{matrix}\right.$的通解和特解。
题目解答
答案
将微分方程重写为：
\[ \frac{x}{x^2 - 1}dx = \frac{y}{y^2 + 1}dy. \]
两边积分得：
\[ \frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| = \frac{1}{2} \ln (y^2 + 1) + C_1, \]
化简得：
\[ |x^2 - 1| = C(y^2 + 1). \]
**通解：**
\[ x^2 - 1 = C(y^2 + 1) \quad \text{或} \quad x^2 = C(y^2 + 1) + 1. \]
**特解：**
代入初始条件 $y|_{x=0} = 1$，得 $C = -\frac{1}{2}$，
\[ x^2 - 1 = -\frac{1}{2}(y^2 + 1) \quad \Rightarrow \quad y^2 + 2x^2 = 1. \]
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{通解：} & x^2 - C(y^2 + 1) = 1 \quad \text{或} \quad x^2 = C(y^2 + 1) + 1 \\
\text{特解：} & y^2 + 2x^2 = 1
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，包括通解的求解和特解的确定。
解题核心思路：
- 分离变量：将原方程整理为关于$x$和$y$的项分别在等式两边，便于积分。
- 积分求通解：对分离后的变量分别积分，得到通解表达式。
- 代入初始条件：通过初始条件$y|_{x=0}=1$确定积分常数，得到特解。
破题关键点：
- 正确分离变量，注意符号处理。
- 积分时选择合适的代换（如令$u = x^2 - 1$或$v = y^2 + 1$）。
- 化简通解时处理绝对值，允许常数$C$为负数以消除绝对值符号。
分离变量
原方程：
$x(y^{2}+1)dx + y(1-x^{2})dy = 0$
将方程改写为：
$\frac{x}{x^{2} - 1}dx = \frac{y}{y^{2} + 1}dy$
此时变量$x$和$y$被分离至等式两边。
积分求通解
对两边分别积分：
- 左边积分：
$\int \frac{x}{x^{2} - 1}dx = \frac{1}{2}\ln|x^{2} - 1| + C_1$
（代换：$u = x^{2} - 1$，则$du = 2x dx$） - 右边积分：
$\int \frac{y}{y^{2} + 1}dy = \frac{1}{2}\ln(y^{2} + 1) + C_2$
（代换：$v = y^{2} + 1$，则$dv = 2y dy$）
联立得：
$\frac{1}{2}\ln|x^{2} - 1| = \frac{1}{2}\ln(y^{2} + 1) + C$
化简为：
$|x^{2} - 1| = C(y^{2} + 1)$
（合并常数项，允许$C$为任意常数，包括负数）
确定特解
代入初始条件$y|_{x=0} = 1$：
$|0^{2} - 1| = C(1^{2} + 1) \implies 1 = 2C \implies C = -\frac{1}{2}$
代入通解得：
$x^{2} - 1 = -\frac{1}{2}(y^{2} + 1)$
整理为：
$y^{2} + 2x^{2} = 1$