题目
[例]圆盘半径为R,以匀角速度w绕垂直于盘心O的轴线转动.一质点沿径向槽自盘-|||-心以匀速度v`向外运动,试求质点加速度各分量的量值(图4.1.3).-|||-2 w△t-|||-w-|||-2` w(r "v-|||-v w△-|||-v`-|||-ō 1-|||-wr-|||-```-|||-w△t-|||-0-|||-图 4.1.3
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质点在某一瞬时的位置
设在某一瞬时t,质点运动到图中1的位置,它与盘心O的距离为r.在 $t+\Delta t$ 瞬间,如盘不转,它应运动到图中2的位置,它与O的距离为 $r+v'\Delta t$. 但圆盘是以匀角速w转动的,在 △t 时间间隔内,它转了一个角度 $(1)\Delta t$ 故质点在 $t+\Delta t$ 瞬间,实际上达到2的位置.
步骤 2：计算质点在 $t+\Delta t$ 瞬间的速度变化
假定 △t 很小,于是 $\cos \omega \Delta t\approx 1$ $\sin \omega \Delta t\approx \omega \Delta t$ ${(\Delta t)}^{2}\approx 0$ ,故在2'处可仍按原先→(O12)的径向及横向进行投影,因此 $\Delta {v}_{1}=[ v'\cos \omega t-\omega (r+v'\Delta t)\sin \omega \Delta ] $ $=[ {0}^{1}-\omega (r+{\omega }^{1}\Delta x)\omega \Delta ] -{v}^{2}=-{\omega }^{2}+\Delta t$ (1) $\Delta {t}_{0}=[ \omega x+v'\Delta \omega x\cos \omega t+v'\sin \omega x] -\omega t$ $=[ \omega (r+v'\Delta t)+v'\omega =-vt=2\omega t\Delta t$ (2)
步骤 3：计算质点的加速度
由此得 ${a}_{r}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac {\Delta {v}_{t}}{\Delta t}=-{w}^{2}r] $ (3) ${a}_{\theta }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac {\Delta {V}_{\theta }}{\Delta t}=2\omega =$ 故此时质点不但有径向加速度(即向心加速度) $-{(1)}^{2}r$ 而且还有横向加速度2wv',此即科里奥利加速度.从图4.1.3及上面的计算可以看出:牵连运动(圆盘转动)改变了相对速度v'的方向,因而产生了横向加速度wv';同时,相对运动(质点向外运动)又改变了牵连速度 $(1)\times r$ 的量值,因为这时r已变为 $r+v'\Delta t$ ,故又一次产生了横向加速度wv',因而沿横向的科里奥利加速度为2wv'. 如质点在盘上不动,即 v'=0 ,则在 $t+\Delta t$ 瞬间,质点只随着盘转到1'的位置,它离盘心 0 的距离仍然等于r,所以只有径向加速度 $-{\omega }^{2}r$.
设在某一瞬时t,质点运动到图中1的位置,它与盘心O的距离为r.在 $t+\Delta t$ 瞬间,如盘不转,它应运动到图中2的位置,它与O的距离为 $r+v'\Delta t$. 但圆盘是以匀角速w转动的,在 △t 时间间隔内,它转了一个角度 $(1)\Delta t$ 故质点在 $t+\Delta t$ 瞬间,实际上达到2的位置.
步骤 2：计算质点在 $t+\Delta t$ 瞬间的速度变化
假定 △t 很小,于是 $\cos \omega \Delta t\approx 1$ $\sin \omega \Delta t\approx \omega \Delta t$ ${(\Delta t)}^{2}\approx 0$ ,故在2'处可仍按原先→(O12)的径向及横向进行投影,因此 $\Delta {v}_{1}=[ v'\cos \omega t-\omega (r+v'\Delta t)\sin \omega \Delta ] $ $=[ {0}^{1}-\omega (r+{\omega }^{1}\Delta x)\omega \Delta ] -{v}^{2}=-{\omega }^{2}+\Delta t$ (1) $\Delta {t}_{0}=[ \omega x+v'\Delta \omega x\cos \omega t+v'\sin \omega x] -\omega t$ $=[ \omega (r+v'\Delta t)+v'\omega =-vt=2\omega t\Delta t$ (2)
步骤 3：计算质点的加速度
由此得 ${a}_{r}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac {\Delta {v}_{t}}{\Delta t}=-{w}^{2}r] $ (3) ${a}_{\theta }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac {\Delta {V}_{\theta }}{\Delta t}=2\omega =$ 故此时质点不但有径向加速度(即向心加速度) $-{(1)}^{2}r$ 而且还有横向加速度2wv',此即科里奥利加速度.从图4.1.3及上面的计算可以看出:牵连运动(圆盘转动)改变了相对速度v'的方向,因而产生了横向加速度wv';同时,相对运动(质点向外运动)又改变了牵连速度 $(1)\times r$ 的量值,因为这时r已变为 $r+v'\Delta t$ ,故又一次产生了横向加速度wv',因而沿横向的科里奥利加速度为2wv'. 如质点在盘上不动,即 v'=0 ,则在 $t+\Delta t$ 瞬间,质点只随着盘转到1'的位置,它离盘心 0 的距离仍然等于r,所以只有径向加速度 $-{\omega }^{2}r$.