有一批建筑房屋用的木柱，其中 80% 的长度不小于 3m。现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？(Phi(2.5) = 0.9938)

我们来逐步解决这个概率问题。 --- ### **题目分析** - 总体中，**80% 的木柱长度不小于 3m**，即： - **20% 的木柱长度小于 3m**。 - 从中**随机抽取 100 根木柱**。 - 问：**至少有 30 根木柱长度小于 3m 的概率是多少？** --- ### **解题步骤** #### **1. 建立模型** 设随机变量 $ X $ 表示这 100 根木柱中长度小于 3m 的木柱数量。 - 每根木柱长度小于 3m 的概率是 $ p = 0.2 $。 - 总共抽取了 $ n = 100 $ 根木柱。 - 所以 $ X \sim \text{Binomial}(n=100, p=0.2) $。 我们要计算的是： $$ P(X \geq 30) $$ --- #### **2. 使用正态近似（中心极限定理）** 由于 $ n = 100 $ 比较大，可以用正态分布近似二项分布： - 二项分布的期望和方差： $$ \mu = np = 100 \times 0.2 = 20 $$ $$ \sigma^2 = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16 \Rightarrow \sigma = 4 $$ - 使用正态近似： $$ X \approx N(\mu = 20, \sigma = 4) $$ --- #### **3. 连续性修正** 由于我们用连续的正态分布近似离散的二项分布，需要进行**连续性修正**： $$ P(X \geq 30) \approx P\left(Y \geq 29.5\right) $$ 其中 $ Y \sim N(20, 4) $。 --- #### **4. 标准化** 将 $ Y $ 标准化为标准正态变量 $ Z \sim N(0,1) $： $$ P(Y \geq 29.5) = P\left(Z \geq \frac{29.5 - 20}{4} \right) = P(Z \geq 2.375) $$ --- #### **5. 查标准正态分布表** 题目给出： $$ \Phi(2.5) = 0.9938 $$ 而我们要求的是： $$ P(Z \geq 2.375) = 1 - \Phi(2.375) $$ 由于没有直接给出 $ \Phi(2.375) $，我们可以用线性插值估算： - $ \Phi(2.37) \approx 0.9911 $ - $ \Phi(2.38) \approx 0.9913 $ 所以： $$ \Phi(2.375) \approx 0.9912 $$ 因此： $$ P(Z \geq 2.375) \approx 1 - 0.9912 = 0.0088 $$ --- ### **最终答案** $$ \boxed{0.0088} $$ 即：从这批木柱中随机抽取 100 根，其中至少有 30 根短于 3m 的概率约为 **0.88%**。