5.已知f(x)二阶可导，且f(x)≠0，varphi(x)=lim_(tto0)((f(x+t))/(f(x)))^(1)/(sin t)，则varphi^prime(x)=___

本题考查函数极限的计算、复合函数求导法则以及商的求导法则。解题的关键思路是先通过取对数将指数形式的极限化简，再利用等价无穷小和导数的定义求出极限，得到$\varphi(x)$的表达式，最后对$\varphi(x)$求导。

1. 取对数化简极限：
   设$y = \left( \frac{f(x+t)}{f(x)} \right)^{\frac{1}{\sin t}}$，对其两边取自然对数可得$\ln y = \frac{\ln f(x+t) - \ln f(x)}{\sin t}$。
2. 计算$\lim_{t \to 0} \ln y$：
   当$t \to 0$时，$\sin t \sim t$（等价无穷小），则$\lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln f(x+t) - \ln f(x)}{t}$。
   根据导数的定义，函数$g(x)$在$x$处的导数$g^\prime(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$，令$g(x)=\ln f(x)$，则$\lim_{t \to 0} \frac{\ln f(x+t) - \ln f(x)}{t}=(\ln f(x))^\prime$。
   根据复合函数求导法则$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，这里$u = f(x)$，所以$(\ln f(x))^\prime=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，即$\lim_{t \to 0} \ln y = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}$。
3. 还原$\varphi(x)$的表达式：
   因为$\lim_{t \to 0} \ln y = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，且$y = \varphi(x)$，根据对数函数与指数函数的关系$y = e^{\ln y}$，可得$\varphi(x) = e^{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}}$。
4. 对$\varphi(x)$求导：
   根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，令$u = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，则$\varphi^\prime(x) = e^{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}} \cdot \left( \frac{f^\prime(x)}{f(x)} \right)^\prime$。
   再根据商的求导法则$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，这里$u = f^\prime(x)$，$v = f(x)$，所以$\left( \frac{f^\prime(x)}{f(x)} \right)^\prime = \frac{f^{\prime\prime}(x)f(x) - [f^\prime(x)]^2}{[f(x)]^2}$。
   因此，$\varphi^\prime(x) = e^{\frac{f^\prime(x)}{f(x)}} \cdot \frac{f^{\prime\prime}(x)f(x) - [f^\prime(x)]^2}{[f(x)]^2}$。