5.已知f(x)二阶可导，且f(x)≠0，varphi(x)=lim_(tto0)((f(x+t))/(f(x)))^(1)/(sin t)，则varphi^prime(x)=___

设函数 $\varphi(x) = \lim_{t \to 0} \left( \frac{f(x+t)}{f(x)} \right)^{\frac{1}{\sin t}}$，其中 $f(x)$ 二阶可导且 $f(x) \neq 0$。求 $\varphi'(x)$。

核心步骤：

1. 取对数化简极限
   令 $y = \left( \frac{f(x+t)}{f(x)} \right)^{\frac{1}{\sin t}}$，则
   $\ln y = \frac{\ln f(x+t) - \ln f(x)}{\sin t}.$
   利用等价无穷小 $\sin t \sim t$（当 $t \to 0$），得
   $\lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln f(x+t) - \ln f(x)}{t} = \frac{f'(x)}{f(x)}.$

2. 还原原函数表达式
   由上式得
   $\varphi(x) = e^{\frac{f'(x)}{f(x)}}.$

3. 对 $\varphi(x)$ 求导
   使用链式法则和商法则：
   $\varphi'(x) = e^{\frac{f'(x)}{f(x)}} \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} \right)' = e^{\frac{f'(x)}{f(x)}} \cdot \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2}.$