一、单选题 19、微分方程y''+y=0y''+y=0的通解是 A. y=C1exy=C1ex B. y=C1cosx+C2sinxy=C1cosx+C2sinx C y=C1x+C2y=C1x+C.2 D. y=C1e-xy=C1e-x

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的解法，特别是特征方程为共轭虚根时的通解形式。

解题核心思路：

1. 构造特征方程：将微分方程中的导数项替换为对应的幂次，得到代数方程。
2. 求解特征根：解方程得到根的性质（实根、共轭虚根等）。
3. 确定通解形式：根据特征根的不同情况，选择对应的解结构。本题中特征根为纯虚数，通解应为三角函数的组合。

破题关键点：

• 识别方程类型：确认为二阶常系数齐次微分方程。
• 正确应用虚根通解公式：当特征根为 $\alpha \pm \beta i$ 时，通解形式为 $e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$，其中 $\alpha = 0$ 时简化为三角函数线性组合。

步骤1：构造特征方程
将微分方程 $y'' + y = 0$ 中的 $y''$ 替换为 $r^2$，得到特征方程：
$r^2 + 1 = 0$

步骤2：求解特征根
解方程 $r^2 + 1 = 0$，得：
$r = \pm i$
特征根为纯虚数，形式为 $\alpha \pm \beta i$，其中 $\alpha = 0$，$\beta = 1$。

步骤3：确定通解形式
根据共轭虚根的通解公式：
$y = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right)$
代入 $\alpha = 0$ 和 $\beta = 1$，得通解：
$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

选项分析：

• A：仅含指数项，对应实根情况，错误。
• B：三角函数组合，符合虚根通解形式，正确。
• C：线性函数，对应重根情况，错误。
• D：单指数项，对应实根情况，错误。