题目
2.(单选题,15分)设a是任意的非零向量,则向量a()。A. 线性相关B. 线性无关C. 线性相关或线性无关D. 不一定
2.(单选题,15分)设a是任意的非零向量,则向量a()。
A. 线性相关
B. 线性无关
C. 线性相关或线性无关
D. 不一定
题目解答
答案
B. 线性无关
解析
考查要点:本题主要考查向量组的线性相关性的基本概念,特别是单个非零向量的线性相关性判断。
解题核心思路:
根据线性相关性的定义,单个非零向量本身是线性无关的,而零向量是线性相关的。题目中明确指出向量$a$是非零的,因此直接应用这一结论即可。
破题关键点:
- 明确线性相关性的定义:若存在非全零的标量使线性组合为零向量,则向量组线性相关。
- 单个非零向量$a$时,只有当标量$k=0$时,$k\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$,因此无法找到非零标量满足条件,故线性无关。
线性相关性的定义:
向量组$\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \dots, \boldsymbol{a}_n$线性相关,当且仅当存在不全为零的标量$k_1, k_2, \dots, k_n$,使得:
$k_1\boldsymbol{a}_1 + k_2\boldsymbol{a}_2 + \dots + k_n\boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0}.$
单个向量的特殊情况:
当向量组仅含一个向量$\boldsymbol{a}$时,线性相关性的条件简化为:
存在标量$k$,使得$k\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$。
- 若$\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}$,则只有$k=0$时成立,因此线性无关。
- 若$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$,则任意$k$均满足,因此线性相关。
本题结论:
题目中明确$a$是非零向量,因此向量$a$线性无关,对应选项B。