设随机变量 X sim N(1, 2), Y sim N(-1, 2), Z sim N(0, 9)。且随机变量 X, Y, Z 相互独立, 已知 a(X + Y)^2 + bZ^2 sim chi^2(n)。(ab neq 0), 则 a, b, n 的值分别为 ().A. a = (1)/(2), b = (1)/(3), n = 2 B. a = (1)/(4), b = (1)/(9), n = 2 C. a = (1)/(2), b = (1)/(3), n = 4 D. a = (1)/(4), b = (1)/(9), n = 4

考查要点：本题主要考查正态分布的性质、卡方分布的构造方法，以及随机变量独立性的应用。

解题核心思路：

1. 确定线性组合的正态分布：利用独立正态变量的和的正态性，求出$X+Y$的分布。
2. 标准化处理：将$X+Y$和$Z$分别标准化为标准正态变量。
3. 构造卡方分布：将标准化后的变量平方，组合成独立的卡方分布项，通过系数匹配确定$a$、$b$，并求和得到自由度$n$。

破题关键点：

• 独立正态变量的和：$X+Y$的均值和方差计算。
• 卡方分布的结构：标准正态变量的平方和形式，以及系数对卡方分布的影响。

步骤1：确定$X+Y$的分布

• $X \sim N(1, 2)$，$Y \sim N(-1, 2)$，且$X$与$Y$独立。
• 和的正态性：$X+Y \sim N(1 + (-1), 2 + 2) = N(0, 4)$。
• 标准化：$\frac{X+Y}{\sqrt{4}} = \frac{X+Y}{2} \sim N(0, 1)$。

步骤2：处理$Z$的分布

• $Z \sim N(0, 9)$，标准化得$\frac{Z}{\sqrt{9}} = \frac{Z}{3} \sim N(0, 1)$。

步骤3：构造卡方分布

• 平方项的独立性：$\left(\frac{X+Y}{2}\right)^2 \sim \chi^2(1)$，$\left(\frac{Z}{3}\right)^2 \sim \chi^2(1)$。
• 和的卡方分布：$\left(\frac{X+Y}{2}\right)^2 + \left(\frac{Z}{3}\right)^2 \sim \chi^2(2)$。

步骤4：系数匹配

• 原式$a(X+Y)^2 + bZ^2$可变形为：
  $a(X+Y)^2 + bZ^2 = \frac{(X+Y)^2}{4} + \frac{Z^2}{9}.$
• 对比得：$a = \frac{1}{4}$，$b = \frac{1}{9}$，自由度$n = 2$。