3.使级数sum_(n=1)^infty(-1)^nu_(n)收敛的条件是（）A. sum_(n=1)^infty|u_(2n)|收敛；B. sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛；C. u_(n)}单调且趋近于零；D. sum_(n=1)^inftyu_(n)^2收敛.

本题考查级数收敛的相关知识，主要是判断使级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$收敛的条件，需要对每个选项逐一分析。

选项A

若$\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{2n}|$收敛，只能说明级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{2n}$绝对收敛，但不能得出$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$收敛。
例如，取$u_{n}=\begin{cases}1, & n为偶数\\0, & n为奇数\end{cases}$，此时$\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{2n}|=\sum_{n = 1}^{\infty}1$是发散的，不过即使假设$\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{2n}|$收敛，对于$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$，其部分和$S_{n}$的敛散性无法由$\sum_{n = 1}^{\infty}|u_{2n}|$收敛来确定，所以该选项错误。

选项B

若$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，设$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}=S$，即$\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k = 1}^{n}u_{k}=S$。
对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$，设其部分和为$T_{n}=\sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}u_{k}$。
$T_{2n}=\sum_{k = 1}^{2n}(-1)^{k}u_{k}=( - u_{1}+u_{2})+( - u_{3}+u_{4})+\cdots+( - u_{2n - 1}+u_{2n})$
$T_{2n + 1}=T_{2n}-u_{2n + 1}$
因为$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，那么$\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}=0$。
$\lim_{n\rightarrow\infty}T_{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k = 1}^{n}(u_{2k}-u_{2k - 1})$，又因为$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，所以$\lim_{n\rightarrow\infty}T_{2n}$存在。
$\lim_{n\rightarrow\infty}T_{2n + 1}=\lim_{n\rightarrow\infty}(T_{2n}-u_{2n + 1})=\lim_{n\rightarrow\infty}T_{2n}-\lim_{n\rightarrow\infty}u_{2n + 1}=\lim_{n\rightarrow\infty}T_{2n}$
所以$\lim_{n\rightarrow\infty}T_{n}$存在，即$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$收敛，该选项正确。

选项C

仅$\{u_{n}\}$单调且趋近于零，不能保证$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$收敛。
例如，取$u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$，$\{u_{n}\}$不单调；再如$u_{n}=\frac{1 + (-1)^{n}}{n}$，$\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}=0$且$u_{n}$有一定单调性，但$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$的敛散性不能仅由$\{u_{n}\}$单调且趋近于零来确定。
根据莱布尼茨判别法，对于交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}(u_{n}\gt0)$，需要$u_{n}\geq u_{n + 1}(n = 1,2,\cdots)$且$\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}=0$才能保证收敛，这里没有明确$u_{n}\gt0$，所以该选项错误。

选项D

若$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}^{2}$收敛，只能说明$\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}=0$，但不能得出$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$收敛。
例如，取$u_{n}=\frac{1}{n}$，$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}^{2}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$收敛，但$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$虽然收敛，但这只是特殊情况，不能由$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}^{2}$收敛就推出$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$收敛，所以该选项错误。