设函数 f(x,y) 具有连续偏导数，满足 f(x,x)=(x+1)^2+(x-2)ln x，且 (partial f)/(partial x)=2(x+1)，则曲线 f(x,y)=0 所围图形绕直线 x=-1 旋转所成旋转体的体积等于 _________.

我们来逐步分析并解答这道题。

题目解析：

已知函数 $ f(x, y) $ 满足：

1. $ f(x, x) = (x+1)^2 + (x - 2)\ln x $；
2. $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2(x+1) $；

要求的是：曲线 $ f(x, y) = 0 $ 所围图形绕直线 $ x = -1 $ 旋转所成旋转体的体积。

第一步：利用偏导数求出函数 $ f(x, y) $

已知：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2(x+1)$

我们可以对 $ x $ 积分，得到：

$f(x, y) = \int 2(x+1) dx + C(y) = (x+1)^2 + C(y)$

所以：

$f(x, y) = (x+1)^2 + C(y)$

第二步：利用条件 $ f(x, x) = (x+1)^2 + (x - 2)\ln x $

将 $ y = x $ 代入上式：

$f(x, x) = (x+1)^2 + C(x)$

根据题设：

$f(x, x) = (x+1)^2 + (x - 2)\ln x$

所以比较可得：

$C(x) = (x - 2)\ln x$

因此：

$f(x, y) = (x+1)^2 + (y - 2)\ln y$

第三步：求曲线 $ f(x, y) = 0 $

令：

$f(x, y) = (x+1)^2 + (y - 2)\ln y = 0$

这是一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的隐函数，我们希望求出曲线 $ f(x, y) = 0 $ 所围图形绕直线 $ x = -1 $ 旋转所成旋转体的体积。

第四步：分析曲线形状

我们希望找到满足：

$(x+1)^2 + (y - 2)\ln y = 0$

的 $ x $ 和 $ y $ 的关系，从而得到曲线的图像。但直接求解这个方程可能比较复杂，我们考虑使用对称性或代数技巧来简化。

第五步：换元法，简化旋转轴

由于旋转轴是 $ x = -1 $，我们做一个平移变换，令：

$u = x + 1 \Rightarrow x = u - 1$

则：

$(x+1)^2 = u^2$

原函数变为：

$f(u - 1, y) = u^2 + (y - 2)\ln y = 0$

所以曲线变为：

$u^2 + (y - 2)\ln y = 0$

即：

$u^2 = -(y - 2)\ln y$

第六步：旋转体体积公式

现在我们要求的是曲线 $ u^2 = -(y - 2)\ln y $ 所围图形绕 $ u = 0 $（即原 $ x = -1 $）旋转所成的旋转体的体积。

这是一个绕 $ u = 0 $（即 $ x = -1 $）旋转的旋转体，使用圆盘法（disk method）：

$V = \pi \int_{y_1}^{y_2} u^2 \, dy$

而 $ u^2 = -(y - 2)\ln y $，所以：

$V = \pi \int_{y_1}^{y_2} -(y - 2)\ln y \, dy$

第七步：确定积分区间

我们需要找出曲线 $ u^2 = -(y - 2)\ln y $ 的定义域，使得右边为非负数（因为 $ u^2 \geq 0 $）。

令：

$-(y - 2)\ln y \geq 0$

即：

$(y - 2)\ln y \leq 0$

我们来分析这个不等式。

• 当 $ y > 2 $：$ y - 2 > 0 $，且 $ \ln y > 0 $，所以乘积 > 0；
• 当 $ 0 < y < 2 $：$ y - 2 < 0 $，且 $ \ln y < 0 $，所以乘积 > 0；
• 当 $ y = 2 $：$ y - 2 = 0 $，乘积 = 0；
• 当 $ y = 1 $：$ \ln y = 0 $，乘积 = 0。

所以只有当 $ y = 1 $ 或 $ y = 2 $ 时，乘积为 0，其他时候为正。

因此，只有当 $ y = 1 $ 或 $ y = 2 $ 时，$ u^2 = 0 $，即曲线在这些点与 $ u = 0 $ 相交。

所以，积分区间为 $ y \in [1, 2] $。

第八步：计算积分

$V = \pi \int_{1}^{2} -(y - 2)\ln y \, dy$

令：

$V = \pi \int_{1}^{2} (2 - y)\ln y \, dy$

我们来计算这个积分。

第九步：计算积分 $ \int_{1}^{2} (2 - y)\ln y \, dy $

我们用分部积分法：

设：

• $ u = \ln y \Rightarrow du = \frac{1}{y} dy $
• $ dv = (2 - y) dy \Rightarrow v = 2y - \frac{1}{2}y^2 $

分部积分公式：

$\int u dv = uv - \int v du$

所以：

$\int_{1}^{2} (2 - y)\ln y \, dy = \left[ (2y - \frac{1}{2}y^2)\ln y \right]_1^2 - \int_{1}^{2} (2y - \frac{1}{2}y^2) \cdot \frac{1}{y} dy$

计算第一项：

• $ y = 2 $: $ (4 - 2)\ln 2 = 2\ln 2 $
• $ y = 1 $: $ (2 - 0.5)\ln 1 = 0 $

所以第一项为 $ 2\ln 2 $

第二项：

$\int_{1}^{2} \left(2y - \frac{1}{2}y^2\right)\cdot \frac{1}{y} dy = \int_{1}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}y\right) dy = \left[2y - \frac{1}{4}y^2\right]_1^2 = \left(4 - 1\right) - \left(2 - 0.25\right) = 3 - 1.75 = 1.25$

所以：

$\int_{1}^{2} (2 - y)\ln y \, dy = 2\ln 2 - 1.25$

因此：

$V = \pi (2\ln 2 - 1.25)$

最终答案：

$\boxed{\pi (2\ln 2 - \frac{5}{4})}$

这是曲线 $ f(x, y) = 0 $ 所围图形绕直线 $ x = -1 $ 旋转所成旋转体的体积。