(int )_(0)^2xsqrt (2x-{x)^2}dx= __

步骤 1：换元
令 $x=1+\sin u$，则 $dx=\cos udu$。当 $x=0$ 时，$u=-\dfrac {\pi }{2}$；当 $x=2$ 时，$u=\dfrac {\pi }{2}$。
步骤 2：代入换元后的积分
代入换元后的积分，得到 $=2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}(1+\sin u)\sqrt {2(1+\sin u)-(1+\sin u)^{2}}\cos udu$。
步骤 3：化简
化简得到 $=2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}(1+\sin u)\sqrt {1-\sin ^{2}u}\cos udu$。
步骤 4：进一步化简
进一步化简得到 $=2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}(1+\sin u)\cos ^{2}udu$。
步骤 5：积分
积分得到 $=2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos ^{2}udu+2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\sin u\cos ^{2}udu$。
步骤 6：计算
计算得到 $=2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {1+\cos 2u}{2}du+2{\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}\sin u\cos ^{2}udu$。
步骤 7：计算
计算得到 $=\dfrac {\pi }{2}$。