(int )_(0)^2xsqrt (2x-{x)^2}dx= __

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是通过换元法处理根号内的二次多项式，结合三角函数积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 整理根号内的表达式：将$2x - x^2$配方法转化为$\sqrt{1 - (x-1)^2}$，体现半圆的几何意义。
2. 三角换元：令$x = 1 + \sin u$，将根号简化为$\cos u$，并调整积分变量。
3. 对称性简化：利用积分区间的对称性，将奇函数部分抵消，仅保留偶函数部分。
4. 余弦平方积分公式：应用$\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$简化计算。

换元与积分区间调整

令$x = 1 + \sin u$，则$dx = \cos u \, du$，根号内表达式变为：
$\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 u} = \cos u.$
当$x$从$0$到$2$时，$u$从$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。

积分表达式转换

原积分变为：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin u) \cdot \cos u \cdot \cos u \, du = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin u) \cos^2 u \, du.$

利用对称性简化

将被积函数拆分为两部分：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u \, du + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin u \cos^2 u \, du.$
其中，$\sin u \cos^2 u$是奇函数，在对称区间上的积分为$0$，因此原积分简化为：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u \, du = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u \, du.$

应用余弦平方公式

利用$\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$：
$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2u}{2} \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2u) \, du.$
积分结果为：
$\left[ u + \frac{\sin 2u}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}.$