题目
设my^3 + nx^2y + i(x^3 + lxy^2)为解析函数，则A. n = l = 1, m = -3B. n = l = -3, m = 1C. n = m = 1, l = -3D. n = m = -3, l = 1
设$my^3 + nx^2y + i(x^3 + lxy^2)$为解析函数，则
A. $n = l = 1, m = -3$
B. $n = l = -3, m = 1$
C. $n = m = 1, l = -3$
D. $n = m = -3, l = 1$
题目解答
答案
B. $n = l = -3, m = 1$
解析
步骤 1：确定函数形式
设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中 $ u(x, y) = my^3 + nx^2y $，$ v(x, y) = x^3 + lxy^2 $。由柯西-黎曼方程得： \[ u_x = v_y \quad \text{和} \quad u_y = -v_x \]
步骤 2：计算偏导数
计算 $ u(x, y) $ 和 $ v(x, y) $ 的偏导数： \[ u_x = 2nxy, \quad u_y = 3my^2 + nx^2, \quad v_x = 3x^2 + ly^2, \quad v_y = 2lxy \]
步骤 3：应用柯西-黎曼方程
代入柯西-黎曼方程： 1. $ 2nxy = 2lxy $ $\Rightarrow$ $ n = l $ 2. $ 3my^2 + nx^2 = -3x^2 - ly^2 $ $\Rightarrow$ $ 3m + l = 0 $ 且 $ n = -3 $
步骤 4：求解方程
解得：$ n = l = -3 $，$ m = 1 $
设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中 $ u(x, y) = my^3 + nx^2y $，$ v(x, y) = x^3 + lxy^2 $。由柯西-黎曼方程得： \[ u_x = v_y \quad \text{和} \quad u_y = -v_x \]
步骤 2：计算偏导数
计算 $ u(x, y) $ 和 $ v(x, y) $ 的偏导数： \[ u_x = 2nxy, \quad u_y = 3my^2 + nx^2, \quad v_x = 3x^2 + ly^2, \quad v_y = 2lxy \]
步骤 3：应用柯西-黎曼方程
代入柯西-黎曼方程： 1. $ 2nxy = 2lxy $ $\Rightarrow$ $ n = l $ 2. $ 3my^2 + nx^2 = -3x^2 - ly^2 $ $\Rightarrow$ $ 3m + l = 0 $ 且 $ n = -3 $
步骤 4：求解方程
解得：$ n = l = -3 $，$ m = 1 $