12.（5.0分）设L是抛物线的一段，y=x^2,-1le xle 1，方向由（-1，1）到（1，1），曲线积分int_(L)(x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy的值为：A. (14)/(15)B. -(14)/(15)

本题考查对坐标的曲线积分的计算，解题思路是将曲线$L$用参数方程表示，然后将曲线积分转化为定积分进行计算。

已知曲线$L$的方程为$y = x^2$，$-1\leq x\leq 1$，可令$x=t$，则$y=t^2$，$t$的取值范围是从$-1$到$1$。
此时$dx = dt$，$dy = 2t dt$。
将$x=t$，$y=t^2$，$dx = dt$，$dy = 2t dt$代入曲线积分$\int_{L}(x^{2}-2xy)dx+(y^{2}-2xy)dy$中，可得：
$\begin{align*}&\int_{-1}^{1}[(t^{2}-2t\cdot t^2)dt+( (t^2)^{2}-2t\cdot t^2)\cdot 2t dt]\\=&\int_{-1}^{1}(t^{2}-2t^3 + 2t^5 - 4t^4)dt\\=&\int_{-1}^{1}t^{2}dt - 2\int_{-1}^{1}t^3 dt + 2\int_{-1}^{1}t^5 dt - 4\int_{-1}^{1}t^4 dt\end{align*}$
根据定积分的性质：

• 若$f(x)$是奇函数，即$f(-x)=-f(x)$，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$。
• 若$f(x)$是偶函数，即$f(-x)=f(x)$，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$。

对于$y = t^3$和$y = t^5$，它们是奇函数，所以$\int_{-1}^{1}t^3 dt = 0$，$\int_{-1}^{1}t^5 dt = 0$。

对于$y = t^2$和$y = t^4$，它们是偶函数，则：
$\int_{-1}^{1}t^{2}dt = 2\int_{0}^{1}t^{2}dt = 2\times[\frac{1}{3}t^3]_0^1 = 2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
$\int_{-1}^{1}t^4 dt = 2\int_{0}^{1}t^4 dt = 2\times[\frac{1}{5}t^5]_0^1 = 2\times\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$

将上述结果代入原式可得：
$\begin{align*}&\int_{-1}^{1}t^{2}dt - 2\int_{-1}^{1}t^3 dt + 2\int_{-1}^{1}t^5 dt - 4\int_{-1}^{1}t^4 dt\\=&\frac{2}{3}-2\times0 + 2\times0 - 4\times\frac{2}{5}\\=&\frac{2}{3}-\frac{8}{5}\\=&\frac{10}{15}-\frac{24}{15}\\=&-\frac{14}{15}\end{align*}$