设 y = y(x) 由方程 y + arcsin x = e^x-y 确定，求 dy.

本题考查隐函数求微分的知识。解题思路是先对给定的隐函数方程两边关于$x$求导，然后通过移项、合并同类项等操作解出$\frac{dy}{dx}$，最后根据微分的定义$dy = \frac{dy}{dx}dx$求出$dy$。

详细解答过程

已知方程$y + \arcsin x = e^{x - y}$，等式两边同时对$x$求导：

• 对于$y$关于$x$求导，根据复合函数求导法则，结果为$\frac{dy}{dx}$。
• 对于$\arcsin x$关于$x$求导，根据求导公式$(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，结果为$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。
• 对于$e^{x - y}$关于$x$求导，令$u = x - y$，则$e^{x - y}=e^u$，根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，$u^\prime=(x - y)^\prime=1 - \frac{dy}{dx}$，所以$(e^{x - y})^\prime = e^{x - y} \left( 1 - \frac{dy}{dx} \right)$。

因此，对等式$y + \arcsin x = e^{x - y}$两边关于$x$求导后得到：
$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = e^{x - y} \left( 1 - \frac{dy}{dx} \right)$

接下来进行整理：
将含有$\frac{dy}{dx}$的项移到等式左边，常数项移到等式右边，可得：
$\frac{dy}{dx} + e^{x - y} \frac{dy}{dx} = e^{x - y} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
提取公因式$\frac{dy}{dx}$，得到：
$\left( 1 + e^{x - y} \right) \frac{dy}{dx} = e^{x - y} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

然后求解$\frac{dy}{dx}$：
等式两边同时除以$1 + e^{x - y}$，可得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x - y} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 + e^{x - y}}$

最后求$dy$：
根据微分的定义$dy = \frac{dy}{dx}dx$，将$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x - y} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 + e^{x - y}}$代入可得：
$dy = \frac{e^{x - y} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 + e^{x - y}}dx$
若对分子分母同乘$\sqrt{1 - x^2}$进行化简，可得：
$dy = \frac{\sqrt{1 - x^2} e^{x - y} - 1}{\sqrt{1 - x^2} (1 + e^{x - y})}dx$