设 f(x) = (1-x cdot 2^1-x)/((2-x)(1-x)) (x neq 1, 2)，若 f(x) 在 [1, 2] 上连续，则 f(1)f(2) = _____。

我们被给出一个函数：

$f(x) = \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}, \quad x \neq 1, 2$

并被告知：$ f(x) $ 在区间 $[1, 2]$ 上连续。问题是：求 $ f(1)f(2) = \, ? $

第一步：理解题意

函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 和 $ x = 2 $ 处没有定义，但题目说它在区间 $[1, 2]$ 上连续。这意味着虽然 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 和 $ x = 2 $ 处没有定义，但可以通过极限的方式连续延拓这两个点，使得函数在这些点也连续。

所以我们要分别求：

• $ f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) $
• $ f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) $

然后计算乘积 $ f(1)f(2) $。

第二步：求 $ f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) $

我们来看：

$f(x) = \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}$

当 $ x \to 1 $ 时，分子和分母都趋近于 0，所以是一个 $ \frac{0}{0} $ 型极限，可以用洛必达法则或展开法求解。

方法一：使用洛必达法则

先设：

$f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} = \frac{1 - x \cdot 2^{1 - x}}{(2 - x)(1 - x)}$

我们先求导数：

• 分子：$ N(x) = 1 - x \cdot 2^{1 - x} $

  对 $ x $ 求导：

  $N'(x) = - \left[ 2^{1 - x} + x \cdot 2^{1 - x} \cdot \ln 2 \cdot (-1) \right] = -2^{1 - x} + x \cdot 2^{1 - x} \ln 2$

  提取公因式：

  $N'(x) = 2^{1 - x} (x \ln 2 - 1)$

• 分母：$ D(x) = (2 - x)(1 - x) = -x^2 + 3x - 2 $

  对 $ x $ 求导：

  $D'(x) = -2x + 3$

所以：

$f'(x) = \frac{2^{1 - x}(x \ln 2 - 1)}{-2x + 3}$

代入 $ x = 1 $：

• 分子：$ 2^{1 - 1}(1 \cdot \ln 2 - 1) = 1 \cdot (\ln 2 - 1) $
• 分母：$ -2 \cdot 1 + 3 = 1 $

所以：

$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{\ln 2 - 1}{1} = \ln 2 - 1$

第三步：求 $ f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) $

同样，我们代入 $ x = 2 $，看看是否为 $ \frac{0}{0} $ 型：

• 分子：$ 1 - 2 \cdot 2^{1 - 2} = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0 $
• 分母：$ (2 - 2)(1 - 2) = 0 \cdot (-1) = 0 $

所以是 $ \frac{0}{0} $ 型，继续使用洛必达法则。

我们已经知道：

$f'(x) = \frac{2^{1 - x}(x \ln 2 - 1)}{-2x + 3}$

代入 $ x = 2 $：

• 分子：$ 2^{1 - 2}(2 \ln 2 - 1) = \frac{1}{2}(2 \ln 2 - 1) $
• 分母：$ -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1 $

所以：

$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{\frac{1}{2}(2 \ln 2 - 1)}{-1} = -\frac{1}{2}(2 \ln 2 - 1)$

第四步：计算 $ f(1)f(2) $

我们已经求出：

• $ f(1) = \ln 2 - 1 $
• $ f(2) = -\frac{1}{2}(2 \ln 2 - 1) $

所以：

$f(1)f(2) = (\ln 2 - 1) \cdot \left( -\frac{1}{2}(2 \ln 2 - 1) \right)$

我们展开：

$= -\frac{1}{2}(\ln 2 - 1)(2 \ln 2 - 1)$

我们计算括号内的乘积：

$(\ln 2 - 1)(2 \ln 2 - 1) = \ln 2 \cdot (2 \ln 2 - 1) - 1 \cdot (2 \ln 2 - 1)$

$= 2 (\ln 2)^2 - \ln 2 - 2 \ln 2 + 1 = 2 (\ln 2)^2 - 3 \ln 2 + 1$

所以：

$f(1)f(2) = -\frac{1}{2} \left( 2 (\ln 2)^2 - 3 \ln 2 + 1 \right)$

最终答案：

$\boxed{-\frac{1}{2} \left( 2 (\ln 2)^2 - 3 \ln 2 + 1 \right)}$

这是 $ f(1)f(2) $ 的精确值。