题目
证明方程x = asinx + b,a > 0,b > 0至少有一个不超过a + b的正根。
证明方程x = asinx + b,a > 0,b > 0至少有一个不超过a + b的正根。
题目解答
答案
证明:®/(x) = x - asin x - b ,显然它在[0,cz + ]±连续。
f(a + b) = a + b — asin(d + b)-b = a[l- sin(d + /?)]> 0
(i)若f(a + h) = 0,则a + b即为满足条件的根。
(ii)若/*(a + b)H0,则 /(« + /?) >0o 而/(0) = -Z?<0,
rt!零点定理知存在§ W(o, d + b),使得/(§)= o。即纟为满足条件的根。
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 f(x) = x - asin(x) - b，其中 a > 0, b > 0。该函数在区间 [0, a + b] 上连续。
步骤 2：计算 f(a + b)
计算 f(a + b) 的值：
f(a + b) = (a + b) - asin(a + b) - b = a - asin(a + b)。
由于 a > 0，且 sin(a + b) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，因此 a - asin(a + b) > 0。
步骤 3：计算 f(0)
计算 f(0) 的值：
f(0) = 0 - asin(0) - b = -b。
由于 b > 0，因此 f(0) < 0。
步骤 4：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在区间 [a, b] 上的两个端点处的函数值异号，那么该函数在区间 (a, b) 内至少有一个零点。
由于 f(0) < 0，f(a + b) > 0，因此根据零点定理，存在一个 x ∈ (0, a + b)，使得 f(x) = 0。
定义函数 f(x) = x - asin(x) - b，其中 a > 0, b > 0。该函数在区间 [0, a + b] 上连续。
步骤 2：计算 f(a + b)
计算 f(a + b) 的值：
f(a + b) = (a + b) - asin(a + b) - b = a - asin(a + b)。
由于 a > 0，且 sin(a + b) 的取值范围在 [-1, 1] 之间，因此 a - asin(a + b) > 0。
步骤 3：计算 f(0)
计算 f(0) 的值：
f(0) = 0 - asin(0) - b = -b。
由于 b > 0，因此 f(0) < 0。
步骤 4：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在区间 [a, b] 上的两个端点处的函数值异号，那么该函数在区间 (a, b) 内至少有一个零点。
由于 f(0) < 0，f(a + b) > 0，因此根据零点定理，存在一个 x ∈ (0, a + b)，使得 f(x) = 0。