题目
一颗质地均匀的骰子，独立的掷12 次， 设 X 为出现的点数之和，求 ( 1 ) 数学期望E(X);( 2 ) 方差 D ( X ).
一颗质地均匀的骰子，独立的掷12 次， 设 X 为出现的点数之和，求 ( 1 ) 数学期望E(X);( 2 ) 方差 D ( X ).
题目解答
答案
一颗质地均匀的骰子，独立的掷12 次，相当于同时掷12个质地均匀的骰子.
设Y表示每个骰子点数.
∵每个骰子掷出各点数概率都是
.
∴
∵X 为出现的12个点数之和，即X=12Y
∴
解析
步骤 1：计算单个骰子的数学期望
对于一个质地均匀的骰子，每个点数出现的概率都是$\dfrac{1}{6}$。因此，单个骰子的数学期望$E(Y)$为：
$$E(Y) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(i) = \dfrac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} i = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6 \cdot (6 + 1)}{2} = \dfrac{7}{2}$$
步骤 2：计算单个骰子的方差
单个骰子的方差$D(Y)$可以通过计算$E(Y^2)$和$E(Y)$的平方来得到。首先计算$E(Y^2)$：
$$E(Y^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot P(i) = \dfrac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} i^2 = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6 \cdot (6 + 1) \cdot (2 \cdot 6 + 1)}{6} = \dfrac{91}{6}$$
然后，根据方差的定义，我们有：
$$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182 - 147}{12} = \dfrac{35}{12}$$
步骤 3：计算12次掷骰子的数学期望和方差
由于12次掷骰子是独立的，设$X$为12次掷骰子的点数之和，即$X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{12}$，其中$Y_i$表示第$i$次掷骰子的点数。根据期望和方差的性质，我们有：
$$E(X) = E(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{12}) = 12E(Y) = 12 \cdot \dfrac{7}{2} = 42$$
$$D(X) = D(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{12}) = 12D(Y) = 12 \cdot \dfrac{35}{12} = 35 \cdot 12 = 420$$
对于一个质地均匀的骰子，每个点数出现的概率都是$\dfrac{1}{6}$。因此，单个骰子的数学期望$E(Y)$为：
$$E(Y) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot P(i) = \dfrac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} i = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6 \cdot (6 + 1)}{2} = \dfrac{7}{2}$$
步骤 2：计算单个骰子的方差
单个骰子的方差$D(Y)$可以通过计算$E(Y^2)$和$E(Y)$的平方来得到。首先计算$E(Y^2)$：
$$E(Y^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot P(i) = \dfrac{1}{6} \sum_{i=1}^{6} i^2 = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6 \cdot (6 + 1) \cdot (2 \cdot 6 + 1)}{6} = \dfrac{91}{6}$$
然后，根据方差的定义，我们有：
$$D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182 - 147}{12} = \dfrac{35}{12}$$
步骤 3：计算12次掷骰子的数学期望和方差
由于12次掷骰子是独立的，设$X$为12次掷骰子的点数之和，即$X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{12}$，其中$Y_i$表示第$i$次掷骰子的点数。根据期望和方差的性质，我们有：
$$E(X) = E(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{12}) = 12E(Y) = 12 \cdot \dfrac{7}{2} = 42$$
$$D(X) = D(Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{12}) = 12D(Y) = 12 \cdot \dfrac{35}{12} = 35 \cdot 12 = 420$$