下列关于等价矩阵说法不正确的是()。A. 若 n 阶方阵 A, B 等价，则其必与 AB 等价B. m times n 阶同型矩阵 A, B 等价的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得 PAQ=BC. 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P_1, P_2, ..., P_l，使 A=P_1P_2... P_lD. 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 等价于单位矩阵 E

本题主要考查等价矩阵的相关知识，解题的关键在于对等价矩阵的定义、性质以及可逆矩阵与初等矩阵关系的理解和运用，通过对每个选项依据相关定理和性质进行分析判断。

• 选项A：
  • 已知$n$阶方阵$A$，$B$等价，根据等价矩阵的性质可知$r(A)=r(B)$。
  • 但是矩阵乘法$AB$的秩并不一定与$A$和$B$的秩相等，根据矩阵秩的性质有$r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$。
  • 例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，$A$和$B$都是$2$阶方阵，且$r(A)=r(B)=1$，所以$A$和$B$等价。
  • 而$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，$r(AB)=0$，$r(AB)\neq r(A)=r(B)$，所以$A$，$B$与$AB$不等价，该选项错误。
• 选项B：
  • 根据等价矩阵的定义，$m\times n$阶同型矩阵$A$，$B$等价的充分必要条件是$r(A)=r(B)$。
  • 又因为存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ = B$时，可逆矩阵$P$和$Q$进行的是初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，即$r(A)=r(PAQ)=r(B)$；反之，若$r(A)=r(B)$，则$A$和$B$可通过初等变换相互转化，也就是存在可逆矩阵$P$和$Q$使得$PAQ = B$，所以该选项正确。
• 选项C：
  • 方阵$A$可逆的充分必要条件是$A$可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
  • 因为可逆矩阵可以通过一系列初等行变换化为单位矩阵，而每一次初等行变换都相当于左乘一个初等矩阵，设对$A$进行$l$次初等行变换化为单位矩阵$E$，即$P_l\cdots P_2P_1A = E$，那么$A = P_1^{-1}P_2^{-1}\cdots P_l^{-1}$，由于初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，所以$A$可以表示为有限个初等矩阵的乘积，该选项正确。
• 选项D：
  • 方阵$A$可逆的充分必要条件是$r(A)=n$（$n$为方阵$A$的阶数）。
  • 而单位矩阵$E$的秩为$n$，若$A$等价于单位矩阵$E$，则$r(A)=r(E)=n$，所以$A$可逆；反之，若$A$可逆，则$r(A)=n$，$A$可通过初等变换化为单位矩阵$E$，即$A$等价于单位矩阵$E$，该选项正确。