求极限 lim(xsinx+2cosx-2)/

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开求解极限的方法，以及对分式中分子、分母进行展开和化简的能力。

解题核心思路：

1. 观察分式结构：分子和分母在$x \rightarrow 0$时均为$0$型，需展开到足够阶数以消除低阶项的影响。
2. 泰勒展开：对$\sin x$、$\cos x$、$e^{x^2}$进行展开，保留到$x^4$阶，确保展开后的项能正确反映极限值。
3. 化简分式：将展开后的分子和分母代入原式，约去相同阶数的项，最终得到极限值。

破题关键点：

• 正确展开各函数的泰勒多项式，尤其是$\cos x$和$e^{x^2}$的展开式。
• 准确合并同类项，注意符号和系数的计算，避免低阶项抵消后遗漏高阶项的影响。

步骤1：改写分式结构
将原式改写为：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x\sin x + 2(\cos x - 1)}{x^2 (e^{x^2} - 1)}$

步骤2：泰勒展开各函数

• $\sin x \sim x - \dfrac{x^3}{6}$
• $\cos x \sim 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}$
• $e^{x^2} \sim 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2}$

步骤3：展开分子和分母

1. 分子部分：

   • $x \sin x \sim x \left( x - \dfrac{x^3}{6} \right) = x^2 - \dfrac{x^4}{6}$
   • $2(\cos x - 1) \sim 2 \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right) = -x^2 + \dfrac{x^4}{12}$
   • 合并得：
     $x^2 - \dfrac{x^4}{6} - x^2 + \dfrac{x^4}{12} = -\dfrac{x^4}{12}$

2. 分母部分：

   • $e^{x^2} - 1 \sim x^2 + \dfrac{x^4}{2}$
   • $x^2 (e^{x^2} - 1) \sim x^2 \left( x^2 + \dfrac{x^4}{2} \right) = x^4 + \dfrac{x^6}{2}$
   • 忽略高阶小项后，分母近似为$x^4$。

步骤4：代入化简
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{ -\dfrac{x^4}{12} }{x^4} = -\dfrac{1}{12}$