若曲线y=x^2+ax+b和2y=-1+xy^3在点(1，-1)处相切，其中a、b是常数，则( )。A. a=0，b=-2B. a=1，b=-3C. a=-3，b=1D. a=-1，b=-1

考查要点：本题主要考查曲线在某点相切的条件，即两曲线在该点有相同的函数值和相同的导数（切线斜率）。需要结合代数方程和导数计算求解未知参数。

解题思路：

1. 验证点是否在两条曲线上：将点$(1, -1)$代入两个方程，得到关于$a$和$b$的方程。
2. 求导并比较斜率：分别对两条曲线求导，代入点$(1, -1)$，令导数相等，得到第二个方程。
3. 联立方程求解：通过两个方程联立解出$a$和$b$的值。

破题关键：

• 隐函数求导：第二条曲线为隐函数，需用隐函数求导法则计算导数。
• 代数运算准确性：注意符号和运算步骤，避免计算错误。

验证点$(1, -1)$在两条曲线上

第一条曲线$y = x^2 + ax + b$

代入点$(1, -1)$：
$-1 = 1^2 + a \cdot 1 + b \implies a + b = -2 \quad \text{(方程1)}$

第二条曲线$2y = -1 + xy^3$

代入点$(1, -1)$：
$2 \cdot (-1) = -1 + 1 \cdot (-1)^3 \implies -2 = -1 + (-1) \implies -2 = -2 \quad \text{成立}$

求两条曲线在点$(1, -1)$处的导数

第一条曲线$y = x^2 + ax + b$

导数为：
$y' = 2x + a$
在$x=1$处：
$y'(1) = 2 \cdot 1 + a = 2 + a$

第二条曲线$2y = -1 + xy^3$

隐函数求导：

1. 对两边求导：
   $2 \frac{dy}{dx} = y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx}$
2. 整理得：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2 - 3xy^2}$
3. 代入点$(1, -1)$：
   $\frac{dy}{dx} = \frac{(-1)^3}{2 - 3 \cdot 1 \cdot (-1)^2} = \frac{-1}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$

联立方程求解$a$和$b$

1. 斜率相等：
   $2 + a = 1 \implies a = -1$
2. 代入方程1：
   $-1 + b = -2 \implies b = -1$