题目
[题目] (int )_(0)^sqrt (2)sqrt (2-{x)^2}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分的几何意义
函数 $y = \sqrt{2 - x^2}$ 描述的是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆的上半部分。积分区间 $[0, \sqrt{2}]$ 表示的是这个圆的上半部分在第一象限的部分，即四分之一圆。
步骤 2：计算四分之一圆的面积
四分之一圆的面积可以通过圆的面积公式 $A = \pi r^2$ 计算，其中 $r$ 是圆的半径。对于半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，其面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。因此，四分之一圆的面积为 $\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$。
步骤 3：得出积分值
由于积分 ${\int }_{0}^{\sqrt {2}}\sqrt {2-{x}^{2}}dx$ 表示的是四分之一圆的面积，所以其值为 $\frac{\pi}{2}$。
函数 $y = \sqrt{2 - x^2}$ 描述的是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆的上半部分。积分区间 $[0, \sqrt{2}]$ 表示的是这个圆的上半部分在第一象限的部分，即四分之一圆。
步骤 2：计算四分之一圆的面积
四分之一圆的面积可以通过圆的面积公式 $A = \pi r^2$ 计算，其中 $r$ 是圆的半径。对于半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，其面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。因此，四分之一圆的面积为 $\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$。
步骤 3：得出积分值
由于积分 ${\int }_{0}^{\sqrt {2}}\sqrt {2-{x}^{2}}dx$ 表示的是四分之一圆的面积，所以其值为 $\frac{\pi}{2}$。