题目

证明函数f(z)=(z)/(z)(zneq0)当z→0时的极限不存在.

证明函数$f(z)=\frac{z}{z}(z\neq0)$当z→0时的极限不存在.

题目解答

答案

设 $ z = x + iy $，则 $ \overline{z} = x - iy $，函数 $ f(z) = \frac{z}{\overline{z}} = \frac{x + iy}{x - iy} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + i \frac{2xy}{x^2 + y^2} $。令 $ u(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $，$ v(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2} $，则 $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $。沿直线 $ y = kx $ 趋近于 $ (0, 0) $，有： \[ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} u(x, y) = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}, \quad \lim_{(x, y) \to (0, 0)} v(x, y) = \frac{2k}{1 + k^2} \] 极限值随 $ k $ 变化，故 $ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} u(x, y) $ 和 $ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} v(x, y) $ 均不存在。由复函数极限定义，$ \lim_{z \to 0} f(z) $ 不存在。 **答案：** $\boxed{\text{极限不存在}}$

解析

考查要点：本题主要考查复变函数极限的存在性判断，特别是当自变量沿不同路径趋近于某点时，函数值是否趋于同一极限。

解题核心思路：
要证明复变函数$f(z)$在$z \to 0$时的极限不存在，需找到至少两条不同路径趋近于原点，使得函数沿这些路径的极限值不同。根据复变函数极限的定义，若实部或虚部的极限不存在或不一致，则整体极限不存在。

破题关键点：

将复函数分解为实部和虚部，分别分析其极限；
沿不同直线路径趋近于原点，计算极限值是否依赖于路径参数；
通过路径参数的不同取值，得出极限值随路径变化的结论。

设$z = x + iy$，则$\overline{z} = x - iy$，函数可表示为：
$f(z) = \frac{z}{\overline{z}} = \frac{x + iy}{x - iy}.$

分解实部和虚部：
将分式有理化，分子分母同乘以$x + iy$：
$f(z) = \frac{(x + iy)^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2 + 2ixy}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + i \cdot \frac{2xy}{x^2 + y^2}.$
记实部为$u(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$，虚部为$v(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$。

沿直线路径$y = kx$趋近于原点：
将$y = kx$代入$u$和$v$：
$u(x, kx) = \frac{x^2 - (kx)^2}{x^2 + (kx)^2} = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}, \quad v(x, kx) = \frac{2x(kx)}{x^2 + (kx)^2} = \frac{2k}{1 + k^2}.$
当$x \to 0$时，极限值分别为$\frac{1 - k^2}{1 + k^2}$和$\frac{2k}{1 + k^2}$，明显依赖于参数$k$。

结论：

若取不同$k$值（如$k = 0$和$k = 1$），实部和虚部的极限值不同；
因此，$u(x, y)$和$v(x, y)$在$(x, y) \to (0, 0)$时的极限均不存在；
根据复变函数极限定义，$\lim_{z \to 0} f(z)$不存在。