题目

下列偏导数计算错误的是（）。 A. z = (x^2 + y^2)e^x 则 z_x = 2xe^x + (x^2 + y^2)e^xB. f(x, y)= x^2y^3，则 (partial f)/(partial x) = 2xy^3C. z = ln(x + sqrt(x^2 + y^2))，则 .(partial z)/(partial x)|_((0,2)) = (1)/(sqrt(x^2 + y^2))D. z = (x^2 + y^2)ln xy 则 z_x = 2x ln xy + x + (y^2)/(x)

下列偏导数计算错误的是（）。

  • A. $z = (x^2 + y^2)e^x$ 则 $z_x = 2xe^x + (x^2 + y^2)e^x$
  • B. $f(x, y)= x^2y^3$，则 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$
  • C. $z = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + y^2}\right)$，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
  • D. $z = (x^2 + y^2)\ln xy$ 则 $z_x = 2x \ln xy + x + \frac{y^2}{x}$

题目解答

答案

为了确定哪个偏导数计算是错误的，我们将逐步计算每个选项的偏导数。 **选项 A: $ z = (x^2 + y^2)e^x $ 则 $ z_x = 2xe^x + (x^2 + y^2)e^x $** 为了找到 $ z_x $，我们对 $ z $ 关于 $ x $ 求偏导数，将 $ y $ 视为常数。使用乘积法则，我们得到： \[ z_x = \frac{\partial}{\partial x}[(x^2 + y^2)e^x] = (x^2 + y^2) \frac{\partial}{\partial x}[e^x] + e^x \frac{\partial}{\partial x}[x^2 + y^2] = (x^2 + y^2)e^x + e^x(2x) = 2xe^x + (x^2 + y^2)e^x. \] 这个计算是正确的。 **选项 B: $ f(x, y) = x^2y^3 $ 则 $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3 $** 为了找到 $ \frac{\partial f}{\partial x} $，我们对 $ f $ 关于 $ x $ 求偏导数，将 $ y $ 视为常数。我们得到： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}[x^2y^3] = y^3 \frac{\partial}{\partial x}[x^2] = y^3(2x) = 2xy^3. \] 这个计算是正确的。 **选项 C: $ \frac{\partial z}{\partial x}(0, 2) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} $** 这个选项没有提供 $ z $ 的表达式，因此我们无法直接计算 $ \frac{\partial z}{\partial x} $。但是，如果假设 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $，那么： \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}[\sqrt{x^2 + y^2}] = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \] 在 $ (0, 2) $ 处计算这个值，我们得到： \[ \frac{\partial z}{\partial x}(0, 2) = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 2^2}} = 0. \] 因此，选项 C 是错误的，因为 $ \frac{\partial z}{\partial x}(0, 2) \neq \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} $。 **选项 D: $ z = (x^2 + y^2)\ln xy $ 则 $ z_x = 2x\ln xy + x + \frac{y^2}{x} $** 为了找到 $ z_x $，我们对 $ z $ 关于 $ x $ 求偏导数，将 $ y $ 视为常数。使用乘积法则，我们得到： \[ z_x = \frac{\partial}{\partial x}[(x^2 + y^2)\ln xy] = (x^2 + y^2) \frac{\partial}{\partial x}[\ln xy] + \ln xy \frac{\partial}{\partial x}[x^2 + y^2] = (x^2 + y^2) \cdot \frac{1}{xy} \cdot y + \ln xy \cdot 2x = (x^2 + y^2) \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln xy = x + \frac{y^2}{x} + 2x \ln xy. \] 这个计算是正确的。 因此，错误的选项是 $\boxed{C}$。

解析

本题考查多元函数偏导数的计算，需掌握以下关键点：

  1. 乘积法则的应用：对两个函数的乘积求偏导时，需分别对每个函数求导后相加；
  2. 链式法则的使用：处理复合函数时，需逐层求导；
  3. 变量的常数化：求偏导时，对某一变量求导时，其他变量视为常数；
  4. 代入特定点的验证：需注意题目中是否要求代入具体点，避免计算错误。

破题关键：逐一验证每个选项的计算过程，特别注意选项C中未明确给出函数表达式，需结合常见函数形式推断可能的错误。

选项A

函数：$z = (x^2 + y^2)e^x$
计算过程：

  1. 乘积法则：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) \cdot e^x + (x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^x)$
  2. 逐项求导：
    $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x$，$\frac{\partial}{\partial x}(e^x) = e^x$
  3. 合并结果：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x e^x + (x^2 + y^2)e^x$
    结论：正确。

选项B

函数：$f(x, y) = x^2 y^3$
计算过程：

  1. 变量常数化：将$y$视为常数，对$x$求导：
    $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x y^3$
    结论：正确。

选项C

问题描述：$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
推断函数：假设$z = \sqrt{x^2 + y^2}$（因题目未明确给出表达式）
计算过程：

  1. 链式法则：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
  2. 代入点$(0,2)$：
    $\frac{\partial z}{\partial x}(0,2) = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 2^2}} = 0$
    结论：选项C中结果为$\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$，与实际值$0$不符，错误。

选项D

函数：$z = (x^2 + y^2)\ln(xy)$
计算过程：

  1. 乘积法则：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) \cdot \ln(xy) + (x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\ln(xy))$
  2. 逐项求导：
    $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x$，$\frac{\partial}{\partial x}(\ln(xy)) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x}$
  3. 合并结果：
    $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \ln(xy) + (x^2 + y^2) \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(xy) + x + \frac{y^2}{x}$
    结论：正确。