5.[单选题]设X的概率密度为f(x)=kx,0≤x≤2;0,其他,则分布函数F(1)的值为（）A. 1/8B. 1/4C. 1/2D. 1

本题考查概率密度函数的性质以及分布函数的计算。解题思路如下：

1. 首先根据概率密度函数的性质求出参数 $k$ 的值。
2. 然后根据分布函数的定义求出分布函数 $F(x)$ 的表达式。
3. 最后将 $x = 1$ 代入分布函数 $F(x)$ 中，计算出 $F(1)$ 的值。

步骤一：求参数 $k$ 的值

根据概率密度函数的性质，对于概率密度函数 $f(x)$，有 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
已知 $f(x)=\begin{cases}kx, & 0\leq x\leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则可得：
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{2}kx dx = 1$
计算积分 $\int_{0}^{2}kx dx$，根据积分公式 $\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：
$\int_{0}^{2}kx dx = k\int_{0}^{2}x dx = k\cdot[\frac{1}{2}x^2]_0^2$
$=k\cdot(\frac{1}{2}\times 2^2 - \frac{1}{2}\times 0^2)= 2k$
因为 $\int_{0}^{2}kx dx = 1$，所以 $2k = 1$，解得 $k = \frac{1}{2}$。

步骤二：求分布函数 $F(x)$ 的表达式

分布函数 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，需要分情况讨论：

• 当 $x < 0$ 时，$f(t) = 0$，则 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{x}0 dt = 0$。
• 当 $0\leq x\leq 2$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{0}0 dt + \int_{0}^{x}\frac{1}{2}t dt$
  $= 0 + [\frac{1}{4}t^2]_0^x = \frac{1}{4}x^2$。
• 当 $x > 2$ 时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{0}0 dt + \int_{0}^{2}\frac{1}{2}t dt + \int_{2}^{x}0 dt$
  $= 0 + [\frac{1}{4}t^2]_0^2 + 0 = \frac{1}{4}\times 2^2 = 1$。

综上，分布函数 $F(x)=\begin{cases}0, & x < 0 \\ \frac{1}{4}x^2, & 0\leq x\leq 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}$。

步骤三：计算 $F(1)$ 的值

因为 $0\leq 1\leq 2$，所以将 $x = 1$ 代入 $F(x)=\frac{1}{4}x^2$ 中，可得 $F(1)=\frac{1}{4}\times 1^2 = \frac{1}{4}$。