题目

sec^2xtan ydx+sec^2ytan xdy=0

$sec^{2}x\tan ydx+sec^{2}y\tan xdy=0$

题目解答

答案

将方程分离变量得： \[ \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy \] 两边积分，令 $ u = \tan x $，$ v = \tan y $，则： \[ \int \frac{1}{u} \, du = -\int \frac{1}{v} \, dv \] 解得： \[ \ln |u| = -\ln |v| + C \quad \Rightarrow \quad \ln |\tan x| + \ln |\tan y| = C \] 利用对数性质合并： \[ \ln (|\tan x| \cdot |\tan y|) = C \quad \Rightarrow \quad |\tan x| \cdot |\tan y| = e^C \] 记 $ e^C = C' $（常数），则通解为： \[ \boxed{\tan x \tan y = C} \]

解析

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分，最终得到通解。

解题核心思路：

分离变量：将含有$x$的项与含有$y$的项分别移到等式两边。
变量替换：通过令$u = \tan x$，$v = \tan y$简化积分过程。
积分求解：对两边分别积分后，利用对数性质合并结果，转化为指数形式得到通解。

破题关键点：

识别方程类型：方程可变形为$\frac{\sec^2 x}{\tan x} dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} dy$，属于可分离变量方程。
变量替换技巧：通过替换$u = \tan x$和$v = \tan y$，将积分转化为简单的$\int \frac{1}{u} du$和$\int \frac{1}{v} dv$。

步骤1：分离变量
原方程：
$\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$
将方程改写为：
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} dy$

步骤2：变量替换与积分

对左边积分，令$u = \tan x$，则$du = \sec^2 x dx$，得：
$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1 = \ln |\tan x| + C_1$
对右边积分，令$v = \tan y$，则$dv = \sec^2 y dy$，得：
$\int -\frac{1}{v} dv = -\ln |v| + C_2 = -\ln |\tan y| + C_2$

步骤3：合并结果
联立积分结果：
$\ln |\tan x| = -\ln |\tan y| + C$
（其中$C = C_2 - C_1$为常数）