题目
已知可逆矩阵 A 的一个特征值为 lambda，则 (2A)^-1 特征值为()A. (1)/(2lambda)B. 2lambdaC. (2)/(lambda)D. (lambda)/(2)
已知可逆矩阵 $A$ 的一个特征值为 $\lambda$，则 $(2A)^{-1}$ 特征值为()
A. $\frac{1}{2\lambda}$
B. $2\lambda$
C. $\frac{2}{\lambda}$
D. $\frac{\lambda}{2}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{2\lambda}$
解析
步骤 1：特征值的性质
- 如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征值是 $\frac{1}{\lambda}$。
- 如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $cA$ 的特征值是 $c\lambda$，其中 $c$ 是一个常数。
步骤 2：应用这些性质
- 首先，考虑矩阵 $2A$。由于 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，那么 $2A$ 的特征值是 $2\lambda$。
- 接下来，考虑矩阵 $(2A)^{-1}$。由于 $2\lambda$ 是 $2A$ 的特征值，那么 $(2A)^{-1}$ 的特征值是 $\frac{1}{2\lambda}$。
- 如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征值是 $\frac{1}{\lambda}$。
- 如果 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，那么 $cA$ 的特征值是 $c\lambda$，其中 $c$ 是一个常数。
步骤 2：应用这些性质
- 首先，考虑矩阵 $2A$。由于 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，那么 $2A$ 的特征值是 $2\lambda$。
- 接下来，考虑矩阵 $(2A)^{-1}$。由于 $2\lambda$ 是 $2A$ 的特征值，那么 $(2A)^{-1}$ 的特征值是 $\frac{1}{2\lambda}$。