题目
(12分)假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元;若仅有1天故障则仍可获利5万元;若仅有两天发生故障可获利0万元;若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。
(12分)假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元;若仅有1天故障则仍可获利5万元;若仅有两天发生故障可获利0万元;若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。
题目解答
答案
解:设
表示一周5个工作日机器发生故障的天数,则~
,分布律为:
表示一周5个工作日机器发生故障的天数,则~,分布律为:
设
(万元)表示一周5个工作日的利润,根据题意,的分布律
(万元)表示一周5个工作日的利润,根据题意,的分布律
则
(万元)。
(万元)。解析
步骤 1：定义随机变量
设X表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则X服从二项分布B(5, 0.2)。分布律为$P(X=k)={C}_{5}^{k}{0.2}^{k}{0.8}^{5-k}$，其中k=0,1,2,3,4,5。
步骤 2：定义利润变量
设Y表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y的分布律为：
$Y=f(X)= \left \{ \begin{matrix} 10,x=0,P(X=0)=0.328\\ 5,X=1,P(X=1)=0.410\\ 0,X=2,P(X=2)=0.205\\ -2,X\geqslant 3,P(X\geqslant 3)=0.057\end{matrix} \right.$
步骤 3：计算期望利润
根据Y的分布律，计算一周内的期望利润EY：
$EY = 10 \times P(X=0) + 5 \times P(X=1) + 0 \times P(X=2) + (-2) \times P(X\geqslant 3)$
$EY = 10 \times 0.328 + 5 \times 0.410 + 0 \times 0.205 + (-2) \times 0.057$
$EY = 3.28 + 2.05 - 0.114$
$EY = 5.216$（万元）
设X表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则X服从二项分布B(5, 0.2)。分布律为$P(X=k)={C}_{5}^{k}{0.2}^{k}{0.8}^{5-k}$，其中k=0,1,2,3,4,5。
步骤 2：定义利润变量
设Y表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y的分布律为：
$Y=f(X)= \left \{ \begin{matrix} 10,x=0,P(X=0)=0.328\\ 5,X=1,P(X=1)=0.410\\ 0,X=2,P(X=2)=0.205\\ -2,X\geqslant 3,P(X\geqslant 3)=0.057\end{matrix} \right.$
步骤 3：计算期望利润
根据Y的分布律，计算一周内的期望利润EY：
$EY = 10 \times P(X=0) + 5 \times P(X=1) + 0 \times P(X=2) + (-2) \times P(X\geqslant 3)$
$EY = 10 \times 0.328 + 5 \times 0.410 + 0 \times 0.205 + (-2) \times 0.057$
$EY = 3.28 + 2.05 - 0.114$
$EY = 5.216$（万元）