小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试,已知考试共有100道题,且小明做对了68题,小刚做对了58题,小红做对了78题.问三人都做对的题目至少有几题?

考查要点：本题主要考查集合的容斥原理和最值问题，需要学生理解如何通过错题分布推断共同正确题目的最小值。

解题核心思路：
要使三人共同做对的题目最少，需让三人做错的题目尽可能不重叠。通过计算总错题数，找到剩余未被错题覆盖的题目数，即为三人共同做对的最少题数。

破题关键点：

1. 错题互补原则：假设三人做错的题目完全不重复，此时错题总数最多，剩余正确题数最少。
2. 总题数限制：错题总数若超过总题数，剩余题数需取非负值。

步骤1：计算三人做错的题目数

• 小明做错：$100 - 68 = 32$ 题
• 小刚做错：$100 - 58 = 42$ 题
• 小红做错：$100 - 78 = 22$ 题

步骤2：假设错题完全不重叠
三人错题总数为：
$32 + 42 + 22 = 96 \text{ 题}$

步骤3：计算剩余共同正确题数
总题数为100题，错题覆盖96题，剩余题目数为：
$100 - 96 = 4 \text{ 题}$
因此，三人至少有4题共同做对。