设 A 为 4 阶矩阵，伴随矩阵 A^* 的特征值为 1, -2, -4, 8，则 A 的特征值是A. 4, -2, -1, 1/2B. -4, 2, 1, -1/2C. 4, 2, 1, 1/2D. -4, 2, -1, 1/2

本题考查矩阵特征值与伴随矩阵特征值的关系。解题的关键思路是利用矩阵$A$与其伴随矩阵$A^*$特征值之间的联系来求解$A$的特征值。

步骤一：明确矩阵$A$与伴随矩阵$A^*$特征值的关系

对于$n$阶矩阵$A$，若$\lambda$是$A$的特征值，$\mu$是$A^*$的特征值，则有$\mu=\frac{\vert A\vert}{\lambda}$，同时$\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n - 1}$。

步骤二：计算$\vert A^*\vert$

已知$A$为$4$阶矩阵，伴随矩阵$A^*$的特征值为$1, -2, -4, 8$。根据矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积，可得：
$\vert A^*\vert=1\times(-2)\times(-4)\times8 = 64$

步骤三：计算$\vert A\vert$

由$\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n - 1}$，$n = 4$，可得$\vert A^*\vert=\vert A\vert^{3}$。
因为$\vert A^*\vert = 64$，所以$\vert A\vert^{3}=64$，即$\vert A\vert=\sqrt[3]{64}=4$。

步骤四：计算$A$的特征值

设$A$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$，$A^*$的特征值为$\mu_1 = 1,\mu_2 = -2,\mu_3 = -4,\mu_4 = 8$。
根据$\mu=\frac{\vert A\vert}{\lambda}$，可得$\lambda=\frac{\vert A\vert}{\mu}$。

• 当$\mu_1 = 1$时，$\lambda_1=\frac{\vert A\vert}{\mu_1}=\frac{4}{1}=4$；
• 当$\mu_2 = -2$时，$\lambda_2=\frac{\vert A\vert}{\mu_2}=\frac{4}{-2}=-2$；
• 当$\mu_3 = -4$时，$\lambda_3=\frac{\vert A\vert}{\mu_3}=\frac{4}{-4}=-1$；
• 当$\mu_4 = 8$时，$\lambda_4=\frac{\vert A\vert}{\mu_4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。

所以$A$的特征值是$4, -2, -1, \frac{1}{2}$。